2.1.2. Метод трапеций

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции представляется в виде ломаной, соединяющей точки . В этом случае площадь всей фигуры складывается из прямоугольных трапеций. Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

, .

Складывая все , получаем формулу трапеций для численного интегрирования:

(2.2)

Легко видеть, что разница между формулами трапеций и средних лишь в выборе узлов, в которых вычисляются значения функции. Отсюда, и точность метода трапеций того же порядка ( ), что и у метода средних. Погрешность метода трапеций:

,

где – максимальное значение производной второго порядка.

2.1.3. Метод Симпсона

В этом методе кривая подынтегральной функции заменяется кусочно-непрерывной линией, состоящих из отрезков квадратичных парабол, следовательно, в методе используется квадратичная интерполяция для аппроксимации подынтегральной функции:

, .

В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки :

Элементарная площадь может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая равенство , получаем:

Такие вычисления проводятся для каждого элементарного отрезка ( ).

Просуммируем полученные выражения:

.

Полученное выражение принимается в качестве значения определенного интеграла.

(2.3)

Данное соотношение и есть формула Симпсона.

Метод Симпсона обладает более высокой точностью по сравнению с методами трапеций и прямоугольников.

,

где – наибольшее по абсолютной величине значение четвертой производной функции, которая интегрируется. Оценить четвертую производную можно через четвертые разности функции: .

Блок-схема метода средних с фиксированным числом разбиений приведена на рис. 2.1.

Нет

Да

– обращение к подпрограмме вычисления подынтегральной функции

Рис.2.1. Блок-схема метода средних с фиксированным числом разбиений.

2.1.4. Алгоритм автоматического выбора шага

Этот алгоритм используется для достижения необходимой точности ( ) при вычислении определенных интегралов. Повышение точности происходит за счет уменьшения шага интегрирования на каждой новой итерации вычисления значения интеграла определенным численным методом. Блок-схема алгоритма приведена на рис.2.2.

Нет

– пределы интегрирования,

– начальное число разбиений,

– заданная точность

Да

Рис. 2.2. Блок-схема алгоритма автоматического выбора шага.

2.2. Выполнение работы Порядок выполнения работы

1. Написать программу вычисления определенного интеграла в соответствии с номером варианта для своей задачи.

2. Объединить на форме элементы ввода с помощью объекта класса TPanel.

3. Отобразить на форме условие своего примера, применив объект класса TImage.

4. Применить в программе блок защиты для операторов итерационного цикла достижения точности.

5. Отладить программу, используя тестовые примеры.

6. Оформить отчет и защитить работу преподавателю.

7. Сделать контрольный просчет по отлаженной программе в соответствии с заданием.