Теорема о квантовании.

Если моменты квантования следуют достаточно часто, то при квантовании непрерывного сигнала потери информации незначительны, и наоборот. В качестве примера можно привести квантование синусоиды.

Квантование синусоиды осуществляется два раза за период. Поэтому синусоида неотличима от нулевого сигнала, если частота синусоидального сигнала равна половине частоты квантования.

Для квантования непрерывного сигнала необходимо знать, при каких условиях непрерывный (аналоговый) сигнал однозначно представляется соответствующими дискретными функциями (своими дискретами). Следующая теорема определяет условия квантования периодической функции.

ТЕОРЕМА ШЕНОНА. Н епрерывный сигнал, преобразование которого по Фурье равны нулю вне интервала , однозначно представляется своими значениями в равноотстоящих точках, если частота квантования больше . При этом непрерывный сигнал может быть получен из дискретного по интерполяционной формуле

, (1)

где – период квантования; - угловая частота квантования, ее размерность [1/с] (радиан в секунду).

Доказательство. Пусть – непрерывный сигнал; - его преобразование по Фурье

, (2)

(3)

Введем в рассмотрение функцию

, (4)

разложение которой в ряд Фурье имеет вид

, (5)

где .

Предположим теперь, что дискреты можно рассматривать как коэффициенты ряда Фурье для периодической функции . (Это проверяется непосредственными вычислениями). Тогда, используя определения коэффициентов Фурье и выражения (3) и (4), можно показать, что

. (6)

Отсюда следует, что квантованный сигнал однозначно определяет функцию . По условию теоремы функция равна нулю вне интервала . Если , то

. (7)

Таким образом, преобразование Фурье непрерывного сигнала однозначно представляется функцией , которая в свою очередь определяется дискретной функцией

.

Для доказательства справедливости (1) заметим, что она может быть получена из (2) и (7)

с учетом (5) и (6). Меняя порядок интегрирования и суммирования, имеем

.

Откуда получаем (1), т.к. .

Замечание 1. Частота , очевидно, играет важную роль – она называется частотой Найквиста.

Замечание 2. Формула (1) определяет восстановление сигналов, преобразование по Фурье которых стремится к нулю при частотах больших, чем частота Найквиста.

Замечание 3. Из-за наличия множителя в уравнении (4) иногда говорят, что операция квантования имеет коэффициент усиления .

Конечные разности дискрктных функций.

Выражение

(1)

называется конечной разностью первого порядка дискретной функции. Или коротко - первая разность функции .

Первая разность от дискретной функции называется разностью второго порядка дискретной функции , т.е.

. (2)

Разность -ого порядка дискретной функции определяется формулой

. (3)

Разность любого порядка можно выразить через значения дискретной функции . В частности, для второй разности получаем

.

Аналогично находим выражение для третьей разности

.

Для разности произвольного n-ого порядка справедлива формула

,

где .

Операция взятия разностей является линейной операцией

,

где – постоянные числа.

Рассмотрим теперь разность от произведения двух решетчатых функций и . Имеем

.

Или другим способом

.

Оба последних выражения определяют разность произведения двух дискретных функций и .