Пример. По заданному преобразованию Лапласа непрерывной функции найти ее – преобразование . Решение.

.

Замечание.

.

Дискретное преобразование Фурье

Это преобразование позволяет распространить частотные методы исследования, разработанные для непрерывных систем автоматического управления, на дискретные системы.

Пусть абсцисса абсолютной сходимости дискретного преобразования Лапласа (1) функции отрицательна . Тогда изображение существует и является аналитической функцией в правой полуплоскости и на мнимой оси. Пологая в формуле (1) , получим

. (34)

Эта формула прямого преобразования дискретного Фурье.

Обратное дискретное преобразование Фурье определяется по формуле

. (35)

Эта формула получается из формулы обратного дискретного преобразования Лапласа при .

Функцию в этом случае можно назвать спектральной характеристической дискретной функцией .

Связь между непрерывным преобразованием Фурье для непрерывной функции и соответствующей ей дискретной функции , имеющей дискретное преобразование Фурье определяется формулой

(36)

.

В частности при формула (36) принимает вид

. (37)

Выражение (36) связывает преобразование Фурье функции и дискретное преобразование Фурье соответствующей дискретной функцией . Формулу (36) можно переписать следующим образом

, (38)

где .

Из формул (36) и (38) следует теорема Котельникова, которая устанавливает связь между непрерывными и дискретными функциями.

Теорема Котельникова.

Пусть непрерывная функция преобразуема по Фурье, причем модуль ее спектральной характеристики тождественно равен нулю, начиная с некоторой частоты , т.е.

(39)

тогда функция может быть восстановлена по своим дискретным значениям , отсчитанным с периодом повторения

(40)

(или с частотой повторения ).

Если , то .

Теорема Котельникова содержит условия, при которых непрерывный сигнал может быть восстановлен по своим значениям, измеренным в дискретные моменты времени.

Решение разностных уравнений с помощью – преобразования.

Пусть задано линейное разностное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами

(41)

и заданы начальные условия

. (42)

Решение разностного уравнения (41) с начальными условиями (42) следует проводить в следующем порядке

1. Выполнить – преобразование обеих частей уравнения (41) с учетом начальных условий (42). Результатом этого преобразования является алгебраическое уравнение относительно изображения решения уравнения (41).

2. Решить полученное уравнение относительно изображения .

3. Найти оригинал изображения .

Пример. С помощью – преобразования решить разностное уравнение

при начальных условиях , .