Дискретное преобразование Лапласа. Z – преобразование.

Для исследования дискретных систем автоматического управления используется дискретное преобразование Лапласа, которое определяется формулой

, (1)

где , - комплексная переменная.

Дискретное преобразование Лапласа устанавливает связь между дискретной функцией действительного переменного и функцией комплексного переменного .

Для смещённой дискретной функции дискретное преобразование определяется следующим образом

. (2)

В задачах исследования цифровых систем автоматического управления используют не дискретное преобразование Лапласа, определяемого формулами (1) и (2), а так называемое -преобразование, которое определяется формулами, аналогичными (1) и (2), но в которых введена новая переменная . Тогда вместо равенств (1) и (2) получаем

(3)

и

. (4)

Если известно изображение некоторой дискретной функции , то соответствующее изображение может быть найдено с помощью замены комплексной переменной по формуле .

Таким образом, принципиальной разницы между дискретным преобразованием Лапласа и - преобразованием не существует. Все свойства - преобразования могут быть получены из соответствующих свойств дискретного преобразования Лапласа.

Здесь следует отметить, что ряд (1) сходится абсолютно в каждой точке полуплоскости и расходится в полуплоскости , где

.

Величина называется абсциссой абсолютной сходимости дискретного преобразования Лапласа. Таким образом, область сходимости дискретного преобразования Лапласа это полуплоскость, расположенная справа от прямой

По аналогии с непрерывным преобразованием Лапласа функцию , которая равно нулю при и удовлетворяет при условию

(5)

будем называть оригиналом. В равенстве (5) и – некоторые постоянные величины. Величина называется показателем роста дискретной функции .

Функция – называется изображением дискретной функции . Непосредственно из определения дискретного преобразования Лапласа (формула (1)) следует, что функция является периодической вдоль мнимой оси плоскости с периодом . Действительно

,

где – любое целое число. Поэтому все свойства функции рассматриваются в любой полосе шириной : .

Наиболее удобной для этой цели является полоса , симметричная относительно действительной оси. Эта полоса называется основной полосой.

Дискретное преобразование Лапласа определяет аналитическую функцию в основной полосе за исключением конечного числа особых точек. (Далее это, как правило, полюсы функции ).

Если все особые точки функции определены в основной полосе

, ,

то все остальные полюсы (особые точки) определяются с помощью равенства

, , .

Рассмотрим, как связаны между собой области определения дискретного преобразования Лапласа в плоскости комплексной переменной и - преобразования в плоскости комплексной переменной .

Преобразование комплексной переменной по формуле переводит основную полосу на всю расширенную плоскость комплексной переменной . При этом отрезок мнимой оси отображается в окружность единичного радиуса , . Левая полоса комплексной плоскости отображается во внутренность единичного круга плоскости , а правая полоса - во внешность этого круга.

Функция , определяемая по формуле (3), является аналитической в области , т.е. во внешности круга , ,

а после построения аналитического продолжения – во всей расширенной плоскости переменной , за исключением конечного числа особых точек.

Особые точки

,

изображения при отображении с помощью функции перейдут в точки

, ,

лежащие внутри круга

; .

Обратное дискретное преобразование Лапласа определяет дискретную функцию по заданному изображению

, , (7)

где – абсцисса абсолютной сходимости.

Для смещенной дискретной функции

. (8)

Вычисление оригиналов можно производить и по формуле обратного -преобразования, которая может быть получена из формулы (7) путем замены переменной

, (9)

где интегрирование производится по окружности радиуса , контур обходится в положительном направлении.

Для смещенных функций имеем

. (10)

Принимая во внимание, что функция является аналитической вне окружности и на самой окружности, можно применить теорему о вычетах, согласно которой

, (11)

где – полюс функции , лежащий внутри окружности . Вычет в простом полюсе

, (12)

Вычет в полюсе кратности

. (13)