3.3 Вектор в декартовой прямоугольной системе координат

Определим проекцию вектора на ось

Проекции точек и на ось - точки и . Это точки пересечения с осью плоскостей и , проведенных через точки и перпендикулярно оси . Проекцией вектора на ось называется величина отрезка .

. (3.17)

Здесь и - координаты точек начала и конца отрезка .

С другой стороны, если перенести вектор (оставляя

(

его параллельным исходному положению) до совмещения точек и то проекцию вектора можно представить так:

(3.18)

Проекция вектора на ось

(3.19)

Аналогично представляются проекции вектора на оси и

(3.20)

(3.21)

В трехмерном пространстве принято использовать базис из трех взаимно ортогональных векторов единичной длины и , которые являются ортами осей декартовой прямо-угольной системы координат. Такой базис называется ортонормированным.

Вектор может быть разложен по базису , то есть:

. (3.22)

Коэффициенты разложения определены однозначно, так как равны проекциям вектора на оси координат. Если совместить начало вектора с началом координат (Рис. 3.4), то вектор . Проекции вектора на оси координат равны величинам отрезков .

В соответствии с правилами сложения векторов

(3.23)

С учетом соотношений 3.19, 3.20 и 3.21 можно записать:

(3.24)

Здесь - орт вектора . Разложение орта по базису имеет вид

(3.25)

В соответствии теоремой Пифагора для трехмерного случая

, (3.26)

а также

(3.27)

Принято называть и направляющими косинусами вектора , и - углы между вектором и осями и .

(3.28)

(3.28*)

Задачи № 752, 757, 763, 781, 784, 785.

Вопросы для повторения

1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Системы аксиом для операций сложения векторов и умножения вектора на число.

2. Линейная зависимость векторов ─ определение. Теорема о линейной зависимости векторов и её следствия.

3. Базис трехмероного пространства ─ определение. Разложение вектора по базису и координаты вектора относительно базиса. Теорема о единственности разложения вектора по базису. Теорема о преобразованиях координат вектора при сложении векторов и умножении вектора на число.

4. Ортонормированный базис в трехмерном пространстве. Орты декартовых осей координат. Правая и левая системы ортов и осей координат.

5. Проекции вектора на оси декартовой системы координат. Направляющие косинусы вектора. Орт вектора и его представление через направляющие косинусы.

§4. Произведения векторов

Определение 4.1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

(4.1)

(Скалярное произведение принято обозначать круглыми скобками.)

Используя представление проекции вектора на другой вектор, можно записать

(4.2)

Теорема 4.1. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Доказательство. Если оба вектора ненулевые, то доказательство необходимости и достаточности утверждения теоремы следует из того факта, что необходимым и достаточным условием равенства нулю является условие , то есть

(4.3)

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1) ,

2) , где − число,

3)

4) , если , , если .

Эти свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, вынося за скобки числовые множители.

Теорема 4.2. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению вектора на орт вектор .

Доказательство. Из соотношения (4.2) следует, что

(4.4)

Теорема 4.2. Если вектора и представлены в виде разложений по базису ,

, (4.5)

то скалярное произведение этих векторов равно следующему выражению:

(4.6)

Доказательство. Перемножив векторные многочлены (4.5), получим:

(4.7)

поскольку

(4.8)

а остальные скалярные произведения ортов , ввиду их ортогональности, обращаются в нули.

Следствие 1.

(4.9)

Здесь орт вектора

(4.10)

Следствие 2.

(4.11)

Определение 4.2. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом

и удовлетворяющий трем требованиям:

(Квадратным скобками обозначают векторное произведение.)

1. вектор ортогонален к каждому из векторов и ,

2. длина вектора равна произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними.

(4.12)

3. упорядоченная тройка векторов является правой.

Определение 4.3. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов является правой, если, после приведения векторов к общему началу, вектор располагается так, что из его конца кратчайший поворот от к виден происходящим в направлении против часовой стрелки. (В противном случае тройка векторов считается левой.)

Это утверждение справедливо для тройки векторов и для системы декартовых координат в пространстве.

Векторное произведение имеет следующие алгебраичес-кие свойства:

1) , (антиперестановочность)

2) ,

3) ,

4) .

Теорема 4.3. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Доказательство. Если и , то доказательство необходимости и достаточности утверждения теоремы следует из (4.12) и того факта, что условие при также является необходимым и достаточным.

Теорема 4.4. Модуль векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .

Доказательство. Поскольку площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон на синус угла между ними, доказательство теоремы следует из формулы (4.12).

Теорема 4.5. Если вектора представлены разложениями но базису

, (4.13)

то их векторное произведение имеет вид:

(4.14)

Доказательство. Перемножив векторные многочлены (4.13), получим, что

Строка (4.15) последнего выражения получена с учетом того, что

(4.16)

(Знак минус в этих произведениях получается вследствие нарушения порядка в тройке ортов .)

Очевидно, что выражение (4.15) есть разложение определителя (4.14) по элементам первой строки.

Теорема доказана.

Следствие. Если два вектора и коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т.е.

(4.17)

Доказательство. Поскольку векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю, из соотношения (4.15) следует, что

(4.18) Из первого равенства после деления на произведение получим пропорцию . Аналогичным образом из второго равенства получаем пропорцию .

Следствие доказано.

В пропорции (4.17) возможно появление нулей в знаменателе. В соответствии с (4.18) это означает, что соответствующий числитель тоже равен нулю.

Для последующих выкладок нам удобно считать, что .

Следствие 1. Если −орт вектора , а −площадь параллелограмма, построенного на перемножае-мых векторах, приведенных к общему началу, то

(4.19)

Определение 4.4. Если векторное произведение умножить скалярно на вектор , то число называется смешанным произведением векторов и .

Теорема 4.6. Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах и , взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же перемножаемые вектора компланарны, то их смешанное произведение ровно нулю.

Доказательство. Тривиальный случай коллинеарности векторов и исключим, так как векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю. Тогда, используя выражение (4.19), можно произвести следующее преобразование (4.20)

(Знак + берем в случае, если тройка векторов правая).

Если же вектора и компланарны, то вектор лежит в плоскости векторов и , следовательно и .

Теорема доказана.

Следствие 1. Справедливо равенство

(4.21)

Объём параллелепипеда не зависит от того, какая пара векторов из тройки перемножается векторно. Знак произведения не изменяется, так как сохраняется порядок векторов и ориентация тройки векторов.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Теорема 4.7. Если три вектора представлены разложениями по базису

,

то их смешанное произведение равно следующему определителю:

(4.22)

Доказательство. Из формулы (4.15) следует, что:

Умножив скалярно этот вектор на вектор , получим,

(4.23)

Полученное выражение (4.23) есть разложение определителя (4.22) по элементам третьей строки. Теорема доказана.

Задачи № 795, 800, 803, 812, 818, 820, 829, 834, 840, 847, 851, 858, 875, 877.

Вопросы для повторения

1. Скалярное произведение, определение. Геометрические и алгебраические свойства.

2. Скалярное произведение в декартовых координатах, (доказать).

3. Угол между векторами, условия перпендикулярности векторов.

4. Проекция одного вектора на другой или на произвольную ось.

5. Определение векторного произведения. Тройка векторов. Геометрические и алгебраические свойства векторного произведения.

6. Векторное произведение в декартовых координатах (доказать).

7. Условия коллинеарности векторов (доказать)

8. Смешанное произведение 3-х векторов. Геометрическая интерпретация (доказать). Условие компланарности 3-х векторов.

9. Смешанное произведение 3-х векторов в декартовых координатах (доказать).