§8. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве

Задача 8.1.

Найти точку пересечения прямой

(8.1)

И плоскости

(8.2)

Решение.

Приравняем выражение (8.1) к параметру и выразим через него и

(8.3)

(8.4)

Подставим и из (8.4) в уравнение плоскости.

(8.5)

Координаты точки пересечения прямой и плоскости получим, подставив значение , найденное из (8.5) в уравнения (8.4).

(8.6)

Задача 8.2.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую (8.7)

(8.7)

Решение.

Положение искомой плоскости определяют два вектора: направляющий вектор прямой

и вектор

,

точка начала которого принадлежит прямой. Введем в рассмотрение «свободный вектор»

,

конечная точка которого −. произвольная точка пространства.

Чтобы эта точка принадлежала искомой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы три рассматриваемые вектора были компланарны, а их смешанное произведение равнялось нулю. Исходя из этого, запишем уравнение искомой плоскости в матричной форме:

(8.8)

Частным случаем рассмотренной задачи является задача о плоскости, проходящей через две параллельные прямые. В этом случае точка берется со второй прямой

(8.9)

(8.10)

и ход решения повторяется.

Задача 8.3.

Составить уравнение плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых параллельно второй.

(8.11)

(8.12)

Решение.

Ориентацию в пространстве искомой плоскости определяют направляющие вектора прямых

Введем в рассмотрение «свободный вектор»

,

конечная точка которого −.произвольная точка пространства, а начальная точка взята с первой прямой.

Из условия компланарности рассматриваемых векторов запишем уравнение искомой плоскости в матричной форме.

. (8.13)

Задача 8.4.

Составить уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых

(8.14)

(8.15)

Решение.

Направляющий вектор искомой прямой вычисляем как векторное произведение направляющих векторов заданных прямых

Так как по условиям задачи перпендикулярен и .

(8.16)

Из условия компланарности векторов , и свободного вектора

,

начальная точка которого взята с первой прямой, запишем в матричной форме уравнение плоскости, проходящей через первую прямую параллельно вектору .

. (8.17)

Аналогично, из условия компланарности векторов , и свободного вектора

,

начальная точка которого взята со второй прямой, запишем в матричной форме уравнение плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно вектору .

. (8.18)

Линия пересечения этих плоскостей и есть искомый общий перпендикуляр.

Чтобы получить искомый общий перпендикуляр в каноническом виде можно найти точку в которой пересекается вторая прямая с плоскостью (8.17). (Способ нахождения этой точки рассмотрен в задаче 8.1) и записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором .

(8.19)

Задача 8.5.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку и пересекающейся с каждой из скрещивающихся прямых (8.20) и (8.21)

(8.20)

(8.21)

Решение.

Через точку и каждую из прямых можно провести плоскость (задача 8.2). Линия пересечения этих плоскостей и есть искомая прямая.

Задачи № 1039, 1044, 1050, 1052, 1066, 1071, 1072, 1078, 1083.