§ 6 Плоскость в трехмерном пространстве

Теорема 6.1 Если в пространстве выбрана некоторая прямоугольная система координат, то уравнение первой степени относительно переменных .

(6.1)

Определяет в этой системе координат некоторую плоскость. (При условии, что коэффициенты не обращаются в нуль одновременно).

Найдется точка , координаты которой удовлетворяют уравнению (6.1).

. (6.2)

Вычитая уравнение (6.2) из (6.1), получим уравнение (6.3), эквивалентное исходному уравнению.

. (6.3)

Это уравнение есть условие ортогональности нормального вектора и вектора

,

начало которого в фиксированной точке , а конец в свободной точке с произвольными координатами и . Вектор может изменять длину и вращаться вокруг вектора , оставаясь перпендикулярным к нему. Свободная точка , являющаяся концом вектора, будет при этом перемещаться по плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Следовательно, уравнение (6.3) есть уравнение плоскости с нормальным вектором , проходящей через фиксированную точку . Теорема доказана.

Уравнение (6.1), эквивалентное уравнению (6.3), называется общим уравнением плоскости.

Рассмотрим неполные уравнения плоскости при условии :

1) . Уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат.

2) . Уравнение определяет плоскость, параллельную оси , так как её нормальный вектор перпендикулярен оси .

3) . Уравнение определяет плоскость, перпендикулярную оси , так как её нормальный вектор параллелен оси .

Остальные неполные уравнения плоскости рассматриваются аналогично.

Уравнение плоскости «в отрезках» легко получить из уравнения (6.1), если перенести свободный член направо от знака равенства, разделить на него левую часть уравнения и сделать очевидные алгебраические преобразования:

. (6.4)

Введем обозначения , уравнение (6.4) примет следующий вид:

. (6.5)

Уравнение (6.5) имеет смысл при условиях и .

Здесь числа и равны координатам точек пересечения плоскости с осями координат.

Убедиться в этом можно, решив систему уравнений, состоящую из уравнения плоскости (6.5) и уравнений осей координат, например оси :

. (6.6)

Доказательства для точек и проводятся аналогично.

Угол между плоскостями и условия параллельности и перпендикулярности плоскостей очевидным образом связаны с соответствующими условиями для их нормальных векторов

Пусть заданы уравнения двух плоскостей

(6.7)

Угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами этих плоскостей. В данном случае это вектора

и

Косинус угла между векторами можно найти исходя из определения скалярного произведения

. (6.8)

Условие ортогональности плоскостей следует из условия ортогональности их нормальных векторов, то есть равенства нулю их скалярного произведения:

. (6.9)

Условия параллельности плоскостей следуют из условия коллинеарности их нормальных векторов:

. (6.10)

Задача 6.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пусть заданы точки

,

не принадлежащие одной прямой. Тогда вектора

и

не будут коллинеарными. Пусть точка «свободная точка» с произвольными координатами , а вектор

«свободный вектор». Чтобы точка принадлежала плоскости, определяемой векторами и необходимо и достаточно, чтобы все три вектора были компланарны, а их смешанное произведение равнялось нулю.

(6.11)

Нормальное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости.

Рассмотрим плоскость (рис 6.3). Из начала координат проведем нормаль к этой плоскости. Точку пересечения нормали с плоскостью обозначим . Величину отрезка обозначим . Орт нормали обозначим .

Чтобы свободная точка принадлежала плоскости , необходимо и достаточно чтобы проекция радиуса-вектора точки на нормаль равнялась числу .

(6.12)

Нормальное уравнение плоскости получим, если в (6.12) перенесем влево от знака равенства число .

(6.13)

Отклонение точки от плоскости.

Пусть число − расстояние от точки до плоскости. Отклонение точки от плоскости , если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и , если точка и начало координат лежат по одну сторону от плоскости.

(6.14)

Здесь

(6.15)

Нормальное уравнение плоскости

(6.13)

и общее уравнение плоскости

(6.1)

определяют одну и ту же плоскость, следовательно существует такое число , что

(6.16)

(6.17)

Из четвертого равенства выражения (6.16) следует, что знак противоположен знаку . Число называется нормирующим множителем. Для получения нормального уравнения плоскости достаточно умножить общее уравнение на нормирующий множитель .

Отклонение точки от плоскости получим, подставив координаты точки в уравнение (6.14).

Определение 6.1. Множество плоскостей, пересе-кающихс по одной прямой , называется пучком плоскостей

Теорема 5.3. Уравнение

(6.18)

есть уравнение пучка плоскостей, если и не обращаются в нуль одновременно, а уравнения

и (6.19)

суть уравнения двух плоскостей, пересекающихся по прямой . Любая плоскость, проходящая через прямую , определяется уравнением (6.19) при некоторых значениях чисел и .

Доказательство. Преобразуем уравнение к следующему виду:

(6.20)

Это уравнение плоскости, если выражения в скобках не равны нулю одновременно. Предположим противное. Тогда, из

следует ,

из следует ,

из следует .

В итоге . (6.21)

Это условие параллельности плоскостей (6.19), что противоречит условиям теоремы. Тем самым доказано, что уравнение (6.18) всегда определяет некоторую плоскость.

Покажем, что любая плоскость, принадлежащая пучку определяется уравнением (6.18) при некоторых значениях чисел и . Фиксируем точку , не принадлежащую прямой . Точка и прямая определяют плоскость, принадлежащую пучку, един-ственным образом.

Подставив координаты точки в уравнение (6.18), получим уравнение относительно неизвестных и .

В этом уравнении выражения в круглых скобках не могут обратиться в нуль одновременно, так как точка не может принадлежать двум различным плоскостям (6.19).

Пусть

,

Тогда

(6.22)

Из (6.22) значения и определяются с точностью до произвольного общего множителя.

Можно представить уравнение пучка плоскостей в другом виде, разделив (6.18) на и положив :

(6.23)

Типовые задачи.

Задача 6.2.

Дана плоскость и точка .

Составить уравнение плоскости, походящей через данную точку параллельно заданной плоскости.

Решение.

Нормальный вектор заданной плоскости , он же будет нормальным вектором искомой плоскости.

Чтобы «свободная точка» принадлежала искомой плоскости, вектор должен быть перпендикулярен вектору . Условие перпен-дикулярности векторов

(6.24)

есть искомое уравнение. Раскрыв скобки и введя обозначение запишем найденное уравнение в общем виде

(6.25)

Задача 6.3.

Задано уравнение пучка плоскостей

, (6.26)

и плоскость

. (6.26*)

Составить уравнение плоскости, принадлежащей пучку, параллельной плоскости .

Решение. Преобразуем уравнение (6.26)

.

Это уравнение искомой плоскости. Его нормальный вектор, имеющий вид

,

параллелен вектору .

Условие параллельности векторов

(6.27)

содержит единственную неизвестную величину . Определив число и подставив его в уравнение (6.26), получим уравнение искомой плоскости.

Связка плоскостей есть множество плоскостей, имеющих одну общую точку . Уравнение связки плоскостей имеет вид

. (6.28)

В этом уравнении фиксированы координаты точки , а коэффициенты произвольные числа, не обращающиеся в нуль одновременно..

Задачи № 913, 919, 920, 927, 931, 942, 946, 952, 961, 964, 973.

Вопросы для повторения

1. Общее уравнение плоскости. Векторное истолкование уравнения плоскости. Нормальный вектор плоскости. Уравнения плоскостей частного положения. Уравнение плоскости «в отрезках». Геометрическая интерпретация. Основные задачи, решаемые с помощью уравнений этих типов.

2. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум заданным векторам.

4. Нормальное уравнение плоскости. Нормирующий множитель. Отклонение точки от плоскости. Основные задачи для нормального уравнения плоскости.

5. Определение пучка плоскостей. Уравнение пучка плоскостей. Основные задачи для уравнения пучка.