Анализ биосигналов в частотной области
В современной медицинской практике большое|великое| значение приобретает решение диагностических задач, а также задач компрессии, архивации и передачи каналом связи информации об исследуемом биосигнале не в области натуральных координат), а в области трансформант, связанных|повязанных| с натуральными координатами глобальными ортогональными преобразованиями|преобразованиями,претворениями|.
Одним из таких - самых распространенных в практике - преобразований|преобразований,претворений| есть преобразование|преобразование,претворение| Фурье и родственных с ним (Лапласа, Гильберта, Винера-Хинчина, Z-преобразование |преобразования,претворения|. Все они связаны|повязаны| с использованием области трансформант ("частотной" области), при переходе к|до| которой|какой| в ряде случаев значительно облегчается решение задач обработки биосигналов.
Напомним основные свойстваодного из этих частотных преобразований|преобразований,претворений|, рассматривая его с точки зрения специфики использования|употребления| в медицинской практике.
Основные свойства преобразования|преобразования,претворения| Фурье
Преобразование Фурье является самым распространенным глобальным ортогональным преобразованием|преобразованием,претворением|, использование|употребление| которого|какого|, как известно, связано|повязано| с решением систем линейных дифференциальных уравнений, которые описывают динамическое|динамичное| равновесие систем с инерционными компонентами.
Использование|употребление| преобразования|преобразования,претворения| Фурье обеспечивает переход от линейных дифференциальных уравнений к|до| комплексным алгебраическим, которые|какие| описывают те же процессы в системах, но в спектральной области частоты j (а не натуральной - координат времени или пространства|простора|).
Анализ в области трансформант Фурье еще называют спектральным анализом.
Пара прямого и обратного превращений|преобразований,претворений| Фурье аналогового сигнала Ха(1), как известно, имеет вид
(2.1)
(2.2)
или для комплексных коэффициентов ряда| Фурье (если сигнал периодический|периодичный|)
(2.3)
(2.4)
где:
-
частота в континуальному|
спектре непериодического сигнала|;
Т - период повторения (если сигнал периодический|периодичный|);
к - номер гармоники дискретного спектра сигнала;
А(
),
Аk
(
),
к
- модули и фазы соответствующих
комплексных функций
Ха (j) и Хk.
Спектральные представления Фурье широко вошли в современную науку и технику, причем настолько, что специалисты видят в разных|различных| характеристиках спектров какой-то "физический смысл", хотя, по-видимому|пожалуй|, нужно говорить лишь|только| о логических|логичных| приемах мышления, которые|какие| вошли в привычку в результате|вследствие| своей распространенности.
Теорема Парсеваля (теорема енергій)
Енергію сигналу Е можна обчислити як у часовій, так і у частотній областях, тобто
(2.7)
Для періодичного сигналу середня потужність за період
де
(2.8)
На існування перетворення Фур'є накладається умова абсолютного інтегрування, тобто за Фур'є можна знайти спектр тільки для таких функцій хa(t), для яких вірно
(2.9)
Але це обмеження обходять на базі теорем про спектри, розраховуючи перетворення і для функцій, для яких (2.9) не виконується. Тоді кажуть, що знайдено перетворення Фур'є у сенсі Лапласа.
При аналізі сигналів спектральні уявлення відкривають дуже широкі можливості (деякі з них розглянуті у цій главі далі для аналізу біосигналів).
Але, якщо треба розв'язувати задачі обчислення реакції системи (кола) на деяку дію хa(t), причому результат шукати також у натуральних координатах (як функцію часу або просторових координат), тоді виникають значні труднощі, пов'язані зі складністю аналітичного обчислення зворотного перетворення Фур'є функції
де Ya(j ) - спектр вихідного сигналу (відгуку);
Ха(j ) - спектр вхідного сигналу (впливу);
Н(j ) - спектр відповідної реакції кола (комплексна частотна характеристика системи).
Для розв'язання задачі аналітичного знаходження оригінала реакції використовують перетворення Лапласа.