Метод непосредственного интегрирования

Непосредственным интегрированием называется такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Метод подстановки в неопределенном интеграле

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Если после замены переменной интеграл стал проще, то цель подстановки достигнута. В основе интегрирования методом подстановки лежит формула

Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

4. Производят замену под интегралом.

5. Находят полученный интеграл.

6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.

7. Результат полезно проверять дифференцированием.

Задание: Найти неопределённые интегралы

1. .

Проверка:

, что совпадает с подынтегральной функцией, следовательно, интеграл найден верно.

2. 

3. 

4. Предварительно преобразуем подынтегральную функцию в сложную степенную функцию, а затем применим метод подстановки в неопределённом интеграле:

;

5.

6.

Наибольшую трудность при практическом применении метода подстановки вызывает правильность определения, к какому табличному интегралу удастся привести заданный интеграл.

Рассмотрим типовые варианты. В Таблице 1 приведены варианты правильных подстановок в различных типах неопределенных интегралов и те интегралы, к которым удаётся прийти в результате подстановки.

Таблица 1

№ п/п	Интеграл	Табличный интеграл, к которому будет приведен данный интеграл	Замена переменной
1.			t = 7x-8
2.			t = 2x2-7x+5
3.			t = 8x-4
4.			t = 5-x
5.			t = 4x4+7
6			t = x2-5
7.			t = 2x
8.			t = 2x7-1

Методические указания и примеры типового расчёта

практической работы №11 по теме

«Геометрические тела. Вычисление объёмов и площадей поверхности многогранников и тел вращения»

Теория

Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Виды параллелепипедов:

1. Прямой это такой параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны плоскостям основания. (У него все боковые грани являются прямоугольниками, а основания параллелограммами).

2. Прямоугольный параллелепипед это прямой параллелепипед, но в основании которого лежит прямоугольник. (У него все грани являются прямоугольниками).

3. Куб это прямоугольный параллелепипед у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны. (У куба все грани равные квадраты).

Диагональное сечение призмы это пересечение призмы с диагональной плоскостью. У прямоугольного параллелепипеда диагональное сечение это прямоугольник, одна из сторон которого равна диагонали прямоугольника, лежащего в основании, а вторая сторона является боковым ребром параллелепипеда.

Пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной.

Виды пирамид:

1)Треугольная, четырёхугольная, пятиугольная,...-в зависимости от многоугольника. лежащего в основании пирамиды;

2) Правильная и неправильная пирамида.

Пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания.

Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, опущенная из её вершины (