Основные формулы

Куб: -диагональ куба, ребро которого равно ;

-диагональ квадрата со стороной ;

-объём куба.

Призма: ,

где длина бокового ребра - периметр перпендикулярного сечения;

Sполн. призм. = Sбок + 2 Sоснов;

-площадь основания правильной треугольной призмы;

V_призмы = S_основ ·H, где Н- высота призмы, если призма прямая, то её высотой является боковое ребро ;

Пирамида:

- площадь основания правильной треугольной пирамиды;

- периметр основания правильной треугольной пирамиды;

- площадь боковой поверхности правильной пирамиды;

Усечённая пирамида:

; _, где и b- стороны оснований;

; - площади оснований правильной треугольной усечённой пирамиды;

;

где апофема усечённой пирамиды;

.

Тела вращения

Цилиндр:

; ;

площадь полной поверхности цилиндра;

- объём цилиндра;

-площадь осевого сечения цилиндра;

-площадь перпендикулярного сечения цилиндра.

Конус:

-площадь перпендикулярного сечения конуса, r-радиус круга в сечении;

- площадь основания конуса;

- площадь боковой поверхности конуса;

- площадь полной поверхности конуса;

- объём конуса, H- высота конуса.

Шар:

- площадь поверхности шара; R- радиус шара;

- объём шара;

-площадь сечения шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстояние d; - радиус круга в сечении;

площадь осевого сечения шара.

Вписанные и описанные многогранники и тела вращения:

Рис.1 Рис.2 Рис.3

Рис.1 - Правильная четырёхугольная призма, описанная вокруг цилиндра;

Рис.2- Конус, описанный вокруг правильной четырёхугольной пирамиды, в которую вписан второй конус;

Рис.3- Прямоугольный параллелепипед, описанный вокруг сферы;

Рис.4 Рис.5 Рис.6

Рис.4- Куб, вписанный в шар;

Рис.5- Цилиндр, описанный вокруг шара

Рис.6-Конус, вписанный в цилиндр.

Задание 1. Найдите площадь многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение

Поверхность многогранника состоит из двух квадратов со стороной 2, площадь каждого из которых равна 4, четырёх прямоугольников со сторонами 1 и 2, площадь каждого из которых равна 2, и двух невыпуклых шестиугольников , площадь каждого из которых равна

. Значит, площадь поверхности многогранника равна сумме площадей указанных многоугольников:

Ответ: 22

Задание 2. Найдите объём фигуры, изображённой на рисунке. Её основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.