Глава 1. Обобщение понятия степени

1. Степень с натуральным показателем

Определение: Степенью числа а с натуральным показателем n  1 называется произведение n сомножителей, каждый из которых равен а:

aⁿ = а  а  а  …  а

_{n раз}

Число а называется основанием степени, n – показателем степени, aⁿ – степень числа а.

Свойства степени с натуральным показателем

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается прежним:

а^m  aⁿ = a^m+n

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя:

a^m : aⁿ = = a^{m – n}

3. При возведении в степень произведения возводится в эту степень каждый из множителей, а результаты перемножаются:

(a  b  c)ⁿ = aⁿ  bⁿ  cⁿ

4. При возведении в степень частного возводится в эту степень делимое и делитель, а затем первый результат делится на второй:

5. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним:

(a^m)ⁿ = a^mn

NB. Возведение числа в степень – следующее (пятое) действие после четырех арифметических: сложение и вычитание, умножение и деление.

а + b = с  или

 или

ПРИМЕРЫ.

1. Выполните действия:

а) 7  3² + 4  5³.

Решение. Так как по определению степени с натуральным показателем 3² = 3  3 = 9; 5³ = 5  5  5 = 125, то:

7  3² + 4  5³ = 7  9 + 4  125 = 63 + 500 = 563.

б) .

Решение.

1,5² = 1,5  1,5 = 2,25; (–1)³ = (–1) (–1) (–1) = –1.

Получаем:

= .

2. Запишите в виде степени:

а) х⁶  х¹¹.

Решение.

х⁶  х¹¹ = х⁶⁺¹¹ = х¹⁷.

б) (–р)⁷  (–р)³.

Решение.

(–р)⁷  (–р)³ = (–р)⁷⁺³ = (–р)¹⁰ = р¹⁰.

в) k¹² : k⁵.

Решение.

k¹² : k⁵ = k^12-5 = k⁷.

г) а¹⁶ : (а⁵  а⁷).

Решение.

а¹⁶ : (а⁵  а⁷) = а¹⁶ : а⁵⁺⁷ = а¹⁶ : а¹² = а^{16 – 12} = а⁴ .

д) – с¹⁷ : с¹⁰.

Решение.

– с¹⁷ : с¹⁰ = – с^{17 – 10} = – с⁷.

3. Упростите выражение:

а) .

Решение.

= .

4. Упростите выражение:

а)

.

б) .

2. Корни n-ой степени. Свойства корней

Определение: Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, n-ая степень которого равна а. Здесь n – любое натуральное число.

 (bⁿ = a)

Определение: Действие нахождения корня n-ой степени называется извлечением корня n-ой степени.

NB. Действие извлечения корня n-ой степени есть действие обратное действию возвышению числа в степень.

Примеры. При вычислении задаем себе вопрос: какое число я возведу в n-ую степень, чтобы получить число а?

1. . Какое число я возведу в 5-ую степень, чтобы получить –32?

= –2, так как (– 2)⁵ = – 32;

2. . Какое число я возведу в 3-ю степень, чтобы получить число 216?

= 6, так как 6³ = 216.

Определение: Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна а.

 (b  0, bⁿ = a)

Символами ( при n = 2) записывается только арифметический корень.

Примеры: ; ; .

Решения же уравнения х² = а имеют вид: или ; .