IV. Способ почленного деления

Этот метод применяют для решения однородных уравнений. Суть метода в почленном делении трехчленного уравнения, члены которого представляют собой степени с одинаковыми показателями и различными основаниями, на одну из степеней.

ПРИМЕР. Решить уравнение:

4^х + 6^х = 2  9^х.

Решение. В каждый член уравнения входит либо квадрат выражения 2^х или 3^х, либо их произведение, т.е. имеем однородное уравнение второй степени. Для его решения разделим обе части уравнения, например, на 9^х  0 (или на 4^х  0, или на 6^х  0, не принципиально). Получим , или

.

Полагая , получим квадратное уравнение:

у² + у – 2 = 0, откуда у₁ = 1, у₂ = – 2 (посторонний корень, т.к. у  0).

Итак, ; ; х = 0.

Ответ: 0.

Основные методы решения показательных неравенств

При решении показательных неравенств следует опираться на известное свойство функции у = а^х (монотонность): функция возрастает при а  1 и убывает при 0  а  1. Поэтому из неравенства а^х  а^у следует, что х  у, если а  1, и х  у, если 0  а  1 (это очень важно!).

ПРИМЕРЫ. Решить неравенства:

а) .

Решение. Учитывая, что , перепишем неравенство в виде .

Так как основание показательной функции , то данное неравенство равносильно неравенству, связывающему показателем степеней с равными основаниями с противоположным знаком: 6х 3, или х  0,5.

Ответ: (0,5; +).

б) .

Решение. Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 3.

; .

Так как функция у = 3^t возрастающая (а = 3, а  1), то данное неравенство равносильно неравенству:

х² + 2х  2(16 – х);

х² + 2х  32 – 2х;

х² + 4х – 32  0 неравенство строгое.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули функции, стоящей в левой части неравенства, решим уравнение:

х² + 4х – 32 = 0.

х ₁ = – 8, х₂ = 4.

+ – +

_{O O}

– 8 4 х

х  (– ; – 8)  (4; + ).

в) 4^х – 10  2^х + 16 ≤ 0.

Решение. Решим неравенство методом введения новой переменной. Пусть 2^х = у, у 0, получим неравенство у² – 10  у + 16 ≤ 0. Решим уравнение: у² – 10у + 16 = 0, откуда у₁ = 2; у₂ = 8.

+ – +

 

2 8 у

Значит, 2  у  8. Возвращаемся к исходной переменной:

2  2^х  8 или 2²  2^х  2³. Так как функция у = 2^х возрастающая, то 2  х  3.

Ответ: [2; 3].

Глава 4. Логарифмы и их свойства

Определение: Логарифмом данного числа по данному основанию называется показатель степени, в которую надо возвести данное основание, чтобы получить данное число

(log_ab = c)  (a^c = b)

Таким образом, логарифм числа «b» по основанию «а» или log_ab – это корень уравнения а^х = b. Не следует забывать, что а  0, а  1, b  0 (так как основание показательной функции – число положительное и не равное 1).

Из определения логарифма вытекает тождество:

(основное логарифмическое тождество).

Вычисляя логарифм, задайте себе вопрос: в какую степень надо возвести основание, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма. log_aа = 1, т.к. a¹ = a или log_a1 = 0, т.к. a⁰ = 1

ПРИМЕРЫ. Вычислить:

а) log₃81.

Решение. Задаем вопрос: в какую степень надо возвести число 3, чтобы получить 81, т.е. решаем уравнение

3^х = 81

3^х = 3⁴

х = 4

Получаем:

log₃81 = 4, так как 3⁴ = 81.

б) log₅ = – 2, т.к. 5^{– 2} = ;

в) log₇ = , т.к. .

Сформулируем ряд свойств логарифмов или теоремы логарифмирования.

1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел при том же основании:

log_a(xy) = log_ax + log_ay при х  0; у  0.

2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и логарифма делителя:

log_a = log_ax – log_ay при х  0; у  0.

3. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания:

log_ax^p = plog_ax; х  0.

4. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня:

log_a = log_ax при х 0.

В двух случаях логарифмы имеют специальное название и обозначение. Это логарифм по основанию 10 – десятичный логарифм, который обозначается lg x, и логарифм по основанию е – натуральный логарифм, который обозначается ln х. Число е  2,7 – это число иррациональное, играющее большую роль в математическом анализе.

ПРИМЕРЫ. Найдите значение выражения:

а) 5  0,6 .

Решение. В соответствии с основным логарифмическим тождеством получаем:

5  0,6 = 5  12 = 60.

б) log₃15 – log₃5 + 3 .

Решение. Используя формулу log_ax – log_ay = log_a и основное логарифмическое тождество , получаем:

log₃15 – log₃5 + 3 = log₃ + 5 = log₃3 + 5 = 1 + 5 = 6.

в) .

Решение. Пользуясь основными свойствами логарифмов, преобразуем числитель и знаменатель этой дроби:

lg25 + lg4 = lg100 = 2; lg30 – lg3 = lg = lg10 = 1.

Следовательно, .

Если некоторое выражение составлено из положительных чисел посредством умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, то логарифм всего этого выражения легко выразить через логарифмы входящих в него чисел. Переход от выражения к его логарифму называется логарифмированием, т.е. это действие нахождения логарифма числа по его основанию.

NB. Логарифмирование – действие, обратное возвышению числа в степень.

NB. У действия возвышения в степень аⁿ = b два обратных действия: а и n = log_ab.

ПРИМЕР. Прологарифмировать по основанию 2 выражение:

.

Решение. По теореме о логарифме дроби:

log₂x = log₂(a² ) – log₂ .

Теорема о логарифме произведения дает:

log₂(a² ) = log₂a² + log₂ ;

log₂ = log₂( = log₂ + log₂ .

Теперь, используя теоремы о логарифме степени и корня, получаем:

log₂a² = 2log₂a, log₂ = log₂c;

log₂ = log₂b, log₂ = log₂d.

Таким образом, log₂x = 2log₂a + log₂b – log₂c – log₂d.

Операция, обратная логарифмированию, называется потенцированием. Она заключается в том, что по логарифму некоторого выражения восстанавливается само выражение.

NB. Потенцирование есть действие, обратное логарифмированию.

ПРИМЕР. Найти х, если:

log_ах = 2log_a10 – log_a7 – 3log₃3 + log_a19.

Решение. Прежде всего, используя теоремы о логарифме степени и корня, можно записать:

2log_a10 = log_a10² = log_a100,

log_a7 = log_a7 = log_a ,

3log_a3 = log_a3³ = log_a27,

log_a19 = log_a19 = log_a .

Получили:

log_ax = (log_a100 + log_a ) – (log_a + log_a27) =

= log_a(100  ) – log_a(  27) = .

Итак, log_ax = , значит, х = .