6.1.2 Модель часткового пристосування

Запишемо цю модель так:

(9)

- бажаний рівень величини Y (desired)

- швидкість пристосування.

Якщо μ=1, то пристосування відбувається миттєво, тоді завжди рівняється Y. Якщо виключити із другого рівняння спостережувану величину , то можна привести модель до виду, зручному для оцінювання:

(10)

Це є модель ADL (1,1) з коефіцієнтом при поточному значенні X, рівному 0, тобто це теж окремий випадок ADL.

6.1.3 Модель адаптивних очікувань

5. Виходить при введенні в економічні моделі очікувань економічних суб'єктів. Адаптивні очікування деякої величини формуються тільки на основі минулих значень цієї величини. Позначимо через очікуване значення величини X. Тоді:

(11)

Помилка в очікуваннях у попередній період приводить до коректування очікувань:

(12)

- швидкість пристосування очікувань.

Якщо , очікування завжди дорівнюють дійсній величині, тобто . Вирішимо це різницеве рівняння за допомогою лагового оператора. З вираження (12) одержуємо, що:

(т.п. виключимо в (11) очікуване значення ).

Підставимо це вираження в рівняння (11) і одержимо модель адаптивних очікувань у формі моделі з геометричним розподіленим лагом, тобто

Перетворення Койко дає іншу форму моделі адаптивних очікувань: ADL(1,0) з МА(1)-помилкою без обмежень на коефіцієнти, у такий спосіб після перетворення Койко одержуємо:

(13)

6.1.4 Модель виправлення помилок

6. ECM - error correction model.

У динамічних регресійних моделям важливо розрізняти довгострокову й короткострокову динаміку.

- модель ADL(1,1) (8)

• У довгостроковому аспекті:

Нехай установилися стаціонарні рівні Х и В ( ):

перестала фігурувати, тому що встановлюється стаціонарний рівень.

(14)

(15)

Ця модель описує довгостроковий стаціонарний стан економічного процесу. - це коефіцієнт довгострокового впливу X на Y.

• Модель ADL(1,1) можна привести до виду, що відбиває короткострокову динаміку економічної системи, і в такий спосіб одержуємо так звану модель виправлення помилок.

Для цього з вираження (8) потрібно відняти в лівій і в правій частині. Потім відняти й прибувати , тоді одержимо:

= з обліком (15) =

це модель виправлення помилок.

Трактування моделі: Якщо в попередній період змінна Y відхилилися від свого довгострокового значення , то член ( ) коректує динаміку в потрібному напрямку. Але для цього необхідно, щоб . Буває, що з теорії відомо, що . І часто саме таку модель називають ECM.

Нескладно побачити, що модель частково пристосування й модель адаптивних очікувань є часткою случаємо виправлення помилок, причому не тільки формально математично, але й по економічному змісті.

Наприклад, модель часткового пристосування у формі ECM виглядає в такий спосіб:

6.2 Детерміновані і стохастичні тренди

Приклади з детермінованими трендами:

- лінійний тренд

- поліноміальний тренд.

Кожне із цих рівнянь може бути розширено лаговими значеннями послідовності або послідовності .

Стохастичні тренди нам поки не знайомі.

6.2.1 Модель випадкового пошуку

Розглянемо модель

, (1)

що є часткою случаємо AR(1)-процесу ( ).

Якщо - відома початкова умова, загальне рішення рівняння може бути представлене у вигляді так званої моделі випадкового блукання (random walk model)

взявши математичні очікування, ми одержуємо:

т.п. середнє значення випадкового блукання дорівнює константі. Однак всі стохастичні зміни (перегони) мають неослабний вплив на послідовність . Якщо відомі перші t реалізацій процесу (послідовності) , умовне математичне очікування дорівнює

Аналогічно, умовне математичне очікування (для будь-яких S>0)

так що

Умовний математичні очікування для всіх значень (S>0) рівні .

Однак коливання (перегони) (мають) впливають на послідовність . Помітимо, що дисперсія залежить від часу

Тому

.

Т.к. дисперсія – не константа ( ), процес випадкового блукання (не є стаціонарним) нестаціонарні. Більше того, при , дисперсія також прагнути до нескінченності.

Отже, випадкове блукання «ізвивається», «бродить» без якої-небудь явної тенденції до збільшення (росту) або зниженню.

Цікаво розглядати коваріациею між і . Тому що середнє значення - константа, можна записати:

Таким чином, коефіцієнт кореляції дорівнює:

(2)

Цей результат відіграє важливу роль у дослідженні нестаціонарних рядів.

Для невеликих значень приблизно дорівнює 1. У міру збільшення S значення повільно зменшується, отже, у вибіркових даних, автокореляційна функція процесу випадкового блукання має слабку тенденцію до загасання.

Таким чином, неможливо використовувати автокореляційну функцію для диференціації процесів з одиничним коренем ( ) і процесів, у яких близько до одиниці.