6.3.1 Визначення одиничних корінь методом Дикі-Фулера
Дикі й Фулер (1979,1981) розглядають процес AR(1)
(2)
Нульова гіпотеза
.
Проти альтернативної
.
Т.е. нульова гіпотеза припускає,
що
нестаціонарений будучи випадковим
блуканням. Відповідно до альтернативної
гіпотези,
- стаціонарний процес AR(1)
[або інтегрований порядку нуль –I(0)],
не розглядається.
На перший погляд, можна
побудувати рівняння авторегресії й
перевірити гіпотезу за критерієм
Стьюдента. Але, як ми вже відзначали,
процедура тестування, що базується на
застосуванні методу найменших квадратів,
до нестаціонарного ряду (а
нестаціонарений, якщо
),
може вводити в оману, показуючи значимість
фактора в той час, як він таким не є.
Процедура тестування повинна
базуватися на такій моделі, що буде
стаціонарний при прийнятті
.
Дикі й Фулер запропонували прийнятний і простий метод тестування на порядок інтеграції, що бере за основу еквівалентне рівняння регресії:
(3)
де
[дійсно:
].
І строго говорячи, DF-Тест у якості приймає твердження:
Звідси його назва - unit root test - тест на одиничний корінь.
Рівняння (3) може бути представлене ще в такий спосіб:
Якщо в рівнянні (2)
,
то в рівнянні (3)
(негативно) – означає стаціонарність
процесу.
Тест DF складається в перевірці
заперечності
.
Відхилення нульової гіпотези (
) на користь альтернативної (
) означає, що
й процес – I(0)
Якщо
- I(1), як припускає нульова
гіпотеза, рівняння (3) представляє
регресію I(0) -–змінної по I(1)-змінної..
Не дивно, що
-статистика
має нестандартний розподіл. Для її
використання потрібні спеціальні
таблиці. Такі таблиці були отримані
емпірично, з використанням методу
Монте-Карло. За основу був узятий процес
AR(1) с.
В силу емпіричного скоріше, ніж теоретичного, характеру таблиць, вони містять елемент невизначеності – дається не одне, а два теоретичні значення – верхнє й нижнє. Якщо розрахункове значення -статистики менше, ніж нижнє припустиме критичне значення, то гіпотеза (нульова гіпотеза про одиничний корінь) відкидається, і приймається стаціонарність (цифри в таблиці маються на увазі негативними). Якщо ж розрахункове значення -статистики більше верхнього припустимого значення критичної величини, то відкинуто. Між верхніми й нижніми межами зона невизначеності.
Тест Дикі-Фулера може бути використаний для перевірки стаціонарності процесів, породжених випадковим блуканням із дрейфом, тобто шляхом перевірки рівняння:
(4)
Техніка перевірки аналогічна. Еквівалентне (4) рівняння:
Але з обліком того, що розподіл
t-статистики для
в
цьому випадку інше, - позначимо його
через
- в основі лежить процес випадкового
блукання із дрейфом, використовуються
інші критичні значення.
Ще одна модифікація рівняння DF - включення лінійного детермінованого тренда.
(5)
або
Це рівняння дозволяє перевірити
відсутність стохастичного тренда (
) і існування детермінованого тренда
(
). Для цього тесту складені свої таблиці
критичних значень -
.
Отже, якщо , те
(2)
– стаціонарний процес AR(1) з нульовим
середнім,
(4)
– стаціонарний процес AR(1) із середнім
,
(5)
– стаціонарний процес AR(1) навколо
лінійного тренда, якщо
.
Якщо дані генеруються відповідно до процесу (2) з , то можна сказати, що - інтегрований процес першого порядку I(1) і є випадковим блуканням без дрейфу.
Якщо дані отримані згідно (4) з і ненульовим
,
тоді
знову таки I(1), але є випадковим блуканням
із дрейфом.Якщо дані генеруються процесом (5) з і ненульовим , то - випадкове блукання уздовж ненульового тимчасового тренда.
Якщо є підстави припускати, що розглянута змінна нестаціонарна й має тренд, то почати тестування рекомендується з регресії (5) і відповідного тесту .
Недолік тесту DF полягає в тім, що тест Дикі-Фулера має обмеження:
Припущення про те, що змінна треба авторегресійному процесу першого порядку;
Помилки нескорельовані.
Дикі й Фулер запропонували використовувати в якості додаткових (екзогенних змінних) регресорів змінну в лівій частині рівняння, узяту з різними лагами (лаги першої різниці).
Модифікований тест DF передбачає авторегресійні процеси більше високих порядків і зветься додаткового (розширеного) тесту Дикі-Фулера (AFD – augment Dickey-Fuller test).
Базові рівняння приймають наступний вид:
Додаткова авторегресійна компонента вводиться для того, щоб забрати автокореляцію залишків, до якої чутливий DF-Тест. Розподіл тестів для цих рівнянь асимптотично збігаються з відповідними тестами DF і використовують ті ж таблиці.