Ранг матриці та способи його обчислення

Рангом матриці називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів. Його позначають через   або  .

Властивості рангу матриці

1. Ранг матриці рівний нулю лише для нульової матриці. В інших випадках ранг матриці рівний деякому додатному числу.

2. Ранг прямокутної матриці не перевищує меншого із двох чисел   і  , тобто  .

3. Для квадратної матриці  -го порядку   тільки тоді, коли матриця невироджена.

4. У випадку квадратної матриці, якщо   то визначник матриці дорівнює нулю.

При знаходженні рангу матриці, як правило, треба обчислювати велику кількість визначників. Щоб полегшити задачу студентам давно-давним знайдені елементарні перетворення за допомогою яких можна, злегка помінявши вигляд матриці, без обчислення визначників порахувати ранг.

Приклад 1.

Завдання.Знайти ранг матриці   методом окантування.

Розв'язок. Матриця   містить ненульові елементи мінори 1-го порядку, отже її ранг може бути рівний одиниці. Згідно правила ранг матриці не перевищує чотирьом  . Мінор 2-го порядку

рівний нулю, але наступний мінор

відмінний від нуля. Окантовуючи мінор другого порядку перевіримо третій: для цього розкладемо його по третьому стовпчику

Розглянемо мінор четвертого порядку, що окантовує даний

Він рівний нулю, оскільки останній рядок нульовий. Лишається обчислити ще один мінор

Шуканий ранг матриці рівний чотирьом ( ). На прикладі можна бачити, що вибір окантування не завжди можна вдало вибрати і потрібно числити велику кількість мінорів.

Питання 8

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) — в лінійній алгебрі система лінійних рівнянь, яка має вигляд:

Це система m лінійних рівнянь з n невідомими, де

 є невідомими,

 є коефіцієнтами системи,

 — вільними членами^[1].

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь відіграють важливу роль у математиці, оскільки до них зводиться велика кількість задач лінійної алгебри, теорії диференціальних рівнянь, математичної фізики тощо, та областей фізики й техніки, де застосовуються ці математичні теорії

Def.   СЛАР (3.1) називають однорідною, якщо всі вільні члени рівні нулю, і неоднорідною, якщо хоч один з них не дорівнює нулю. Однорідна система завжди має нульовий (тривіальний) розв’язок  .

Def.    Систему рівнянь називають сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.

Def.   Сумісну систему називають визначеною, якщо вона має один-єдиний розв’язок (  ), і невизначеною, якщо вона має більше одного розв’язку.

Def.   Матриці

Теорема Кронекера - Капеллі — критерій сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

СЛАР має розв'язки тоді і тільки тоді, коли ранг її матриці   дорівнює рангу її розширеної матриці 

Причому система має єдине рішення, якщо ранг дорівнює числу невідомих і нескінченно багато рішень, якщо ранг менше числа невідомих.

Необхідність[ред. • ред. Код]

Нехай СЛАР сумісна, тоді існує розв'язок:   такі, що   Тобто, стовпець   є лінійною комбінацією стовпців матриці 

Отже 

Достатність[ред. • ред. Код]

Нехай   Візьмемо в матриці   будь-який базисний мінор. Так як  , то він буде базисним мінором і для матриці 

Тоді згідно з теоремою про базисний мінор, останній стовпець матриці   буде лінійною комбінацією базисних стовпчиків, тобто стовпців матриці 

Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці   коефіцієнти такої лінійної комбінації і будуть розв'язком СЛАР.

Питання 9

Метод Гауса — Йордана використовується для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходження оберненої матриці, знаходження координат вектора у заданому базисі, відшуканнярангу матриці. Метод є модифікацією методу Гауса. Названий на честь Гауса та німецького математика та геодезиста Вільгельма Йордана.