15.Пряма і площина в просторі. Взаємне розташування площин. Пряма як лінія перетину двох площин.

Будь-яке рівняння першого степеня з трьома змінними визначає площину. І навпаки, будь-яка площина визначається рівнянням першого степеня відносно змінних координат, які задають довільну точку площини.

1. Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд:

Де числа координати нормального вектора.

Особливі випадки рівняння

а) Якщо в рівнянні вільний член , тоді одержуємо рівняння

Площини, що проходить через початок координат.

б) Нехай в рівнянні один із коефіцієнтів або С дорівнює нулю. Тоді одержимо рівняння площини, які паралельні відповідним координатним осям.

Рівняння площини, що паралельні осі .

Рівняння площини, що паралельні осі :

Рівняння площини, що паралельна осі :

Необхідно запам’ятати, що якщо площина паралельна якій-небудь координатній осі, то в її рівняння відсутній член, який містить координату, однойменну з цією віссю.

в) Якщо в цих рівняннях вільний член , то одержимо рівняння площин, які проходять через відповідні осі координат.

Рівняння площини, що проходить через вісь :

.

Рівняння площини, що проходить через вісь :

.

Рівняння площини, що проходить через вісь :

.

г) Нехай в рівнянні два коефіцієнта дорівнюють нулю, тобто: , або , або . Тоді одержуємо рівняння площини, які паралельні відповідним координатним площинам:

Рівняння площини, що паралельна координатній площині :

, або .

Рівняння площини, що паралельна координатній площині :

, або

Рівняння площини, що паралельна координатній площині :

, або .

д) нехай в рівнянні три коефіцієнти , або і , або і дорівнює нулю. Тоді одержуємо рівняння координатних площин.

Рівняння координатної площини :

, або .

Рівняння координатної площини :

, або .

Рівняння координатної площини :

, або .

Нехай площині   і   задані загальними рівняннями:   ,   ,   - Нормальні вектори цих площин відповідно.  Площині   і   паралельні або збігаються тоді і тільки тоді, коли вектори   колінеарні. Записуючи умова колінеарності векторів (2.6), отримуємо: якщо   то площини паралельні; якщо   то площини співпадають.  Якщо ж координати векторів   не пропорційні, то площини перетинаються по деякій прямій l. Очевидно, що   .  Звідси отримуємо умову перпендикулярності площин   .  Як і для двох прямих на площині можна вивести таку формулу:   ,  де   - Один із суміжних двогранні кутів між площинами. Відстань d від точки М ₀ (х _0, у _0, z ₀₎ до площини   обчислюється за формулою:  Приклад 3.5. Скласти рівняння площини   , Що проходить через точку  M ₁ (-1, 2, 5) паралельно площині   :   .  Рішення. Нормальний вектор   = {2, -3, 0} площині   є також нормальним вектором площини   . Використовуючи рівність (3.11) отримуємо:  - Рівняння площини   по точці і нормальному вектору. Розкриваючи дужки і приводячи подібні доданки, знайдемо   - Загальне рівняння площини.  ^

             Для побудови лінії перетину двох площин необхідно побудувати будь-які дві точки, кожна з яких належить обом площинам. Ці точки і будуть визначати шукану лінію рис. 43.

             Для побудови лінії перетину двох площин загального положення необхідно, узяти на одній з площин дві будь-які прямі і побудувати точки перетину їх з іншою площиною (рис. 45). Таким чином, задача зводиться до розв’язання задачі на перетин прямої з площиною загального положення (рис. 41).

             Якщо площини задані слідами, то точки, які визначають пряму перетину цих площин, будуть точками перетину однойменних слідів площин (рис. 46)

Множина́ — одне з основних понять сучасної математики. Строго воно не визначається, але може бути дано інтуїтивне визначення множини як сукупності певних і різних об'єктів довільної природи, яка розглядається як одне ціле. Об'єкти, які складають множину, називаються її елементами. Наприклад, можна говорити про множину усіх книг в певній бібліотеці, множину літер українського алфавіту або про множину всіх коренів певного рівняння тощо.

16.Множини, їх задання та операції над ними. Геометрична інтерпретація операцій над множинами за допомогою діаграм Ейлера-Вена. Приклади.

Перетином множин А і В називається множина С , що складається з усіх тих і лише тих елементів, які входять до складу кожної з даних множин А і В і є спільною частиною множин А і В.

Об’єднанням двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множин А і В і лише з них.

Різницею двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множини А, які не належать множині В.

Діаграма Венна (англ. Venn diagram) — діаграма, що показує всі можливі логічні відношення для скінченного набору множин.

Діаграми Венна придумані приблизно в 1880 Джоном Венном.^[1] Використовуються для вивчення елементарної теорії множин, та ілюстрування простих співвідношень в теорії ймовірностей, логіці, статистиці, мовознавстві та інформатиці.

Окрім діаграм Венна, для зображення множин використовують також кола Ейлера. Кола Ейлера використовуються для зображення всіх можливих відношень між різними множинами, в тому числі і таких коли одна множина містить іншу або взагалі відсутні перетини множин. Діаграма Венна зображує, всі можливі перетини множин. Всього таких перетинів буде  , де n — кількість множин. Для трьох множин діаграма Венна звичайно зображується у вигляді трьох кіл з центрами в вершинах рівностороннього трикутника і однаковим радіусом, приблизно рівним довжині сторони трикутника.

При вирішенні цілого ряду завдань Леонард Ейлер використовував ідею зображення множин за допомогою кіл. Однак цим методом ще до Ейлера користувався видатний німецький філософ і математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646–1716). Лейбніц використав їх для геометричної інтерпретації логічних зв'язків між поняттями, але при цьому все ж таки вважав за краще використовувати лінійні схеми.

Але досить ґрунтовно розвинув цей метод сам Л. Ейлер. Методом кіл Ейлера користувався і німецький математик Ернст Шредер (1841–1902) у книзі «Алгебра логіки». Особливого розквіту графічні методи досягли в творах англійського логіка Джона Венна (1843–1923), який докладно виклав їх у книзі «Символічна логіка», виданій в Лондоні в 1881 році. Тому такі схеми іноді називають Діаграми Ейлера — Венна.

Приклади.