17.Основні числові множини: n, z, q, r, Числова пряма.

Числові множини

В означенні функції і область визначення і множина значень є числові множини. І чим різноманітніші ці числові множини, тим більш вони насчені властивостями, і тим, відповідно, більша кількість властивостей, в тому числі, важливих і корисних, буде притаманна і фунекції, що пов'язана з цими множинами.

Числово́ю ві́ссю називають пряму, кожній точці якої відповідає певне число, а кожному числу відповідає певна точка на прямій. Числа на прямій розташовуються у строгому порядку зростання зазвичай зліва направо або справа наліво (зрідка).

18. ε- окіл заданої точки х0

WTF

19.Числові послідовності та їх властивості: обмеженість, монотонність.

Числові послідовності 1. Означення числової послідовності Дамо означення нескінченної числової послідовності та опишемо деякі з них. Означення. Нескінченною числовою послідовністю називається сукупність чисел, кожному з яких присвоєно певний порядковий номер

(5.1) де числа - члени послідовності, відповідно, перший, другий і т.д.; - - й, або загальний член послідовності. Числову послідовність записують або у вигляді ряду чисел (5.1) або у вигляді Числова послідовність вважається заданою, якщо вказано закон або правило, за допомогою якого кожному натуральному числу ставиться у відповідність дійсне число Опишемо основні способи задання цього правила.

Монотонна послідовність - це послідовність, елементи якої зі збільшенням номера не зменшуються, або, навпаки, не зростають. Подібні послідовності часто зустрічаються при дослідженнях і мають ряд відмінних особливостей і додаткових властивостей. Послідовність з одного числа не може вважатися зростаючою або спадною.

Послідовність називається обмеженою, якщо всі її елементи належать якійсь кулі у якомусь метричному просторі. Числова послідовність   називається обмеженою, якщо 

• Послідовність { } називається обмеженою зверху ( знизу ), якщо існує таке дійсне число M ( число m ), що кожен елемент   послідовності { } задовільняє нерівність   ≤ M (   ≥ m ).При цьому число M ( число m ) називають верхньою ( нижньою ) межею послідовності.

• Послідовність { } називається обмеженою з двох сторін або просто обмеженою, якщо вона обмежена зверху і знизу, тобто існують такі числа m і M, що m ≤   ≤ M., або | | ≤ A, де A = max{M,m}.

20.Означення границі послідовності. Геометрична інтерпретація. Способи задання послідовності . Приклади.

Границя числової послідовності — фундаментальне поняття математичного аналізу, число, до якого члени послідовності прямують зі збільшенням індекса в сенсі наступного означення:

Дійсне число a називається границею числової послідовності  , якщо  ^[1]

Позначення:   або 

При цьому також кажуть, що послідовність   збігається до числа a, або має границю a. Послідовність, що збігається до деякої границі називається збіжною, в інших випадках —розбіжною.

Геометрична інтерпретація границі послідовності така, якщо , то який би відрізок [A-E, A+E] (Е окіл.) ми не взяли всі члени послідовності {an} починаючи з деякого номера N залежить Е. (N=NE). границею є О Е = 1/1000, N = 1000, що для всіх n>N маємо нерівність |0 – an|M виконується нерівність |an|>M.

1. Аналітичний спосіб задання послідовності. Задати послідовність аналітично – це означає вказати формулу, яка дозволяє по номеру члена послідовності однозначно визначити цей член. Формула, яка дозволяє обчислити будь-який член послідовності по його номері, називається формулою загального членачислової послідовності. Наприклад, формула загального члена   задає наступну числову послідовність  2) Інколи послідовність задається рекурентною формулою, яка дозволяє знаходити члени послідовності по відомим попереднім членам. Наприклад, розглянемо послідовність  , перший член якої рівний 1, другий 2, а кожний член, починаючи з третього, рівний сумі двох попередніх членів: . Тоді   і т.д. Значить, послідовність   задана. 3) Послідовність може бути також задана описом способу отримання її членів. Так, наприклад, говорять, що послідовність Утворена із приблизних значень числа   з недостачею з точністю до  і т.д. В подібних випадках, як правило, не можна вказати ні формули загального члена послідовності, ні рекурентного способу обчислення її членів