1. Линейная модель

Пусть модель специфицирована в линейной форме:

y = at + b + u,

где a, b - параметры модели, u - стохастическая составляющая (остатки).

Используем метод наименьших квадратов. Запишем систему нормальных уравнений, используя в качестве неизвестную переменную - переменную t:

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало счета времени (t = 0) принять центральный интервал (момент).

При нечетном числе уровней (например, 19), значения t = 0 – условного обозначения времени будет отвечать средней 11 неделе:

t	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0
Y	178,00	236,67	326,00	303,67	208,00	166,33	215,33	247,67	250,33	218,00

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y	236,67	218,33	295,67	295,33	292,33	230,67	229,00	218,67	206,00

Поскольку Σt = 0, поэтому система нормальных уравнений принимает вид:

Построим вспомогательную таблицу:

№	t	y	t2	ty
1	-9	178,00	81	-1602,00
2	-8	236,67	64	-1893,36
3	-7	326,00	49	-2282,00
4	-6	303,67	36	-1822,02
5	-5	208,00	25	-1040,00
6	-4	166,33	16	-665,32
7	-3	215,33	9	-645,99
8	-2	247,67	4	-495,34
9	-1	250,33	1	-250,33
10	0	218,00	0	0,00
11	1	236,67	1	236,67
12	2	218,33	4	436,66
13	3	295,67	9	887,01
14	4	295,33	16	1181,32
15	5	292,33	25	1461,65
16	6	230,67	36	1384,02
17	7	229,00	49	1603,00
18	8	218,67	64	1749,36
19	9	206,00	81	1854,00
Σ	-	4572,67	570	97,33

Получим систему уравнений:

Находим решение:

a = 97,33 / 570 = 0,1708,

b = 4572,67 / 19 = 240,6668.

Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид:

y = 240,6668 + 0,1708t.

Это значит, что при увеличении или уменьшении значения фактора на 1 у.е., показатель увеличивается или уменьшается на 0,1708 у.е., то есть между параметрами существует прямая пропорциональная или положительная зависимость.

Свободный член регрессии b = 240,6668 указывает значение показателя при нулевом значении условного времени.

Вычислим теоретические значения уровней ряда динамики по аналитической формуле и трендовую составляющую U_i.

№	t	T	y	p	Ui
1	-9	2	178,00	239,1301	-61,1301
2	-8	3	236,67	239,3008	-2,6308
3	-7	4	326,00	239,4716	86,5284
4	-6	5	303,67	239,6423	64,0277
5	-5	6	208,00	239,8131	-31,8131
6	-4	7	166,33	239,9838	-73,6538
7	-3	8	215,33	240,1546	-24,8246
8	-2	9	247,67	240,3253	7,3447
9	-1	10	250,33	240,4961	9,8339
10	0	11	218,00	240,6668	-22,6668
11	1	12	236,67	240,8376	-4,1676
12	2	13	218,33	241,0084	-22,6784
13	3	14	295,67	241,1791	54,4909
14	4	15	295,33	241,3499	53,9801
15	5	16	292,33	241,5206	50,8094
16	6	17	230,67	241,6914	-11,0214
17	7	18	229,00	241,8621	-12,8621
18	8	19	218,67	242,0329	-23,3629
19	9	20	206,00	242,2036	-36,2036

Выполним построение корреляционного поля с изображением на нем тренда.

Вычислим для зависимой переменной y общую дисперсию, дисперсию, что объясняет регрессию, дисперсию ошибок [ЛУК, с. 56]:

Определим коэффициенты детерминации R² и корреляции r [ЛУК, c. 57]:

Этот результат значит, что 0,05% вариации результативного признака зависит от вариации уровня факторного признака, а 99,95% приходится на другие факторы.

Поскольку |r| < 0,4, то между факторным и результативным признаком корреляционной связи нет.

Оценим точность модели или среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую по формуле [ЕЛИ, с. 87]:

Получим:

Поскольку A > 7%, то делаем вывод о плохом подборе модели для исходных данных.

Проверим адекватность модели по критерию Фишера или F-критерию, который вычисляется по формуле:

Поскольку табличное значение F_{(0,05; 1; 17)} = 4,45 и |F| < F_таб, то делаем вывод об неадекватности эконометрической модели.

Методом математической экстраполяции составим прогноз показателя на следующие 4 недели.

Y(22) = 240,6668 + 0,1708 · 11 = 242,5451,

Y(23) = 240,6668 + 0,1708 · 12 = 242,7159,

Y(24) = 240,6668 + 0,1708 · 13 = 242,8866,

Y(25) = 240,6668 + 0,1708 · 14 = 243,0574.