2. Гиперболическая модель
Пусть эконометрическая модель специфицирована в нелинейной, гиперболической форме:
y = a0 + a1 / x + u.
где a, b - параметры модели u - стохастическая составляющая (остатки).
Для оценки параметров нелинейной регрессии сведем ее к линейной форме, то есть линеаризуем ее [ЕЛИ, с. 62]. Преобразуем начальное уравнение, записав его следующим образом:
y = a0 + a1 / x.
Произведя замену X = 1 / x, b = a0, a = a1, получим линейную эконометрическую модель:
y = b + aX.
Запишем исходные данные в форме, учитывая на замену.
№ |
x |
y |
1/x |
1 |
2 |
178,00 |
0,5000 |
2 |
3 |
236,67 |
0,3333 |
3 |
4 |
326,00 |
0,2500 |
4 |
5 |
303,67 |
0,2000 |
5 |
6 |
208,00 |
0,1667 |
6 |
7 |
166,33 |
0,1429 |
7 |
8 |
215,33 |
0,1250 |
8 |
9 |
247,67 |
0,1111 |
9 |
10 |
250,33 |
0,1000 |
10 |
11 |
218,00 |
0,0909 |
11 |
12 |
236,67 |
0,0833 |
12 |
13 |
218,33 |
0,0769 |
13 |
14 |
295,67 |
0,0714 |
14 |
15 |
295,33 |
0,0667 |
15 |
16 |
292,33 |
0,0625 |
16 |
17 |
230,67 |
0,0588 |
17 |
18 |
229,00 |
0,0556 |
18 |
19 |
218,67 |
0,0526 |
19 |
20 |
206,00 |
0,0500 |
Используем метод наименьших квадратов [ЛЕЩ, с.29]. Запишем систему нормальных уравнений, используя в качестве неизвестной переменной - переменную x:
где n - количество наблюдений.
Построим вспомогательную таблицу.
№ |
x |
y |
x2 |
xy |
1 |
0,5000 |
178,00 |
0,25000000 |
89,000000 |
2 |
0,3333 |
236,67 |
0,11111111 |
78,890000 |
3 |
0,2500 |
326,00 |
0,06250000 |
81,500000 |
4 |
0,2000 |
303,67 |
0,04000000 |
60,734000 |
5 |
0,1667 |
208,00 |
0,02777778 |
34,666667 |
6 |
0,1429 |
166,33 |
0,02040816 |
23,761429 |
7 |
0,1250 |
215,33 |
0,01562500 |
26,916250 |
8 |
0,1111 |
247,67 |
0,01234568 |
27,518889 |
9 |
0,1000 |
250,33 |
0,01000000 |
25,033000 |
10 |
0,0909 |
218,00 |
0,00826446 |
19,818182 |
11 |
0,0833 |
236,67 |
0,00694444 |
19,722500 |
12 |
0,0769 |
218,33 |
0,00591716 |
16,794615 |
13 |
0,0714 |
295,67 |
0,00510204 |
21,119286 |
14 |
0,0667 |
295,33 |
0,00444444 |
19,688667 |
15 |
0,0625 |
292,33 |
0,00390625 |
18,270625 |
16 |
0,0588 |
230,67 |
0,00346021 |
13,568824 |
17 |
0,0556 |
229,00 |
0,00308642 |
12,722222 |
18 |
0,0526 |
218,67 |
0,00277008 |
11,508947 |
19 |
0,0500 |
206,00 |
0,00250000 |
10,300000 |
Σ |
2,5977 |
4572,67 |
0,59616324 |
611,534102 |
Получим систему уравнений:
Решение системы найдем по формулам Крамера [ГЕТ, с.30]:
где Δ - главный определитель системы.
Следовательно, уравнение линейной модели имеет вид:
y = 248,4142 - 56,6645x.
Откуда получим следующее уравнение нелинейной модели:
y = 248,4142 - 56,6645 / x.
Выполним построение корреляционного поля с изображением на нем линии регрессии.
Для проведения исследования модели построим вспомогательную таблицу.
№ |
x |
y |
yx |
|
|
|
|
u2 = (y - yx)2 |
1 |
2 |
178,00 |
220,0819 |
3927,1331 |
81,0000 |
564,0016 |
423,7382 |
1770,8897 |
2 |
3 |
236,67 |
229,5260 |
15,9747 |
64,0000 |
31,9747 |
124,1178 |
51,0364 |
3 |
4 |
326,00 |
234,2481 |
7281,7478 |
49,0000 |
-597,3321 |
41,2007 |
8418,4175 |
4 |
5 |
303,67 |
237,0813 |
3969,3979 |
36,0000 |
-378,0189 |
12,8562 |
4434,0562 |
5 |
6 |
208,00 |
238,9701 |
1067,1226 |
25,0000 |
163,3342 |
2,8789 |
959,1475 |
6 |
7 |
166,33 |
240,3193 |
5525,9661 |
16,0000 |
297,3474 |
0,1208 |
5474,4109 |
7 |
8 |
215,33 |
241,3311 |
641,9556 |
9,0000 |
76,0105 |
0,4413 |
676,0587 |
8 |
9 |
247,67 |
242,1181 |
49,0442 |
4,0000 |
-14,0063 |
2,1063 |
30,8232 |
9 |
10 |
250,33 |
242,7477 |
93,3766 |
1,0000 |
-9,6632 |
4,3301 |
57,4907 |
10 |
11 |
218,00 |
243,2629 |
513,7857 |
0,0000 |
0,0000 |
6,7394 |
638,2127 |
11 |
12 |
236,67 |
243,6921 |
15,9747 |
1,0000 |
-3,9968 |
9,1525 |
49,3106 |
12 |
13 |
218,33 |
244,0554 |
498,9345 |
4,0000 |
-44,6737 |
11,4822 |
661,7953 |
13 |
14 |
295,67 |
244,3667 |
3025,3474 |
9,0000 |
165,0095 |
13,6891 |
2632,0259 |
14 |
15 |
295,33 |
244,6366 |
2988,0608 |
16,0000 |
218,6526 |
15,7586 |
2569,8252 |
15 |
16 |
292,33 |
244,8727 |
2669,0819 |
25,0000 |
258,3158 |
17,6889 |
2252,1992 |
16 |
17 |
230,67 |
245,0810 |
99,9369 |
36,0000 |
-59,9811 |
19,4847 |
207,6765 |
17 |
18 |
229,00 |
245,2662 |
136,1152 |
49,0000 |
-81,6679 |
21,1537 |
264,5880 |
18 |
19 |
218,67 |
245,4318 |
483,8611 |
64,0000 |
-175,9747 |
22,7053 |
716,1965 |
19 |
20 |
206,00 |
245,5810 |
1201,7899 |
81,0000 |
-312,0016 |
24,1486 |
1566,6528 |
Σ |
209 |
4572,67 |
- |
34204,6068 |
570,0000 |
97,3300 |
773,7933 |
33430,8135 |
Σ/n |
11 |
240,6668 |
- |
1800,2425 |
30,0000 |
5,1226 |
40,7260 |
1759,5165 |
Вычислим для зависимой переменной y общую дисперсию, дисперсию, что объясняет регрессию, дисперсию ошибок [ЛУК, с. 56]:
Определим коэффициенты детерминации R2 и корреляции r [ЛУК, c. 57]:
Этот результат значит, что 2,26% вариации результативного признака зависит от вариации уровня факторного признака, а 97,74% приходится на другие факторы.
Поскольку |r| < 0,4, то между факторным и результативным признаком корреляционной связи нет.
Найдем среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую по формуле [ЕЛИ, с. 87]:
Получим:
Поскольку A > 7%, то делаем вывод о плохом подборе модели для исходных данных.
Проверим адекватность модели по критерию Фишера или F-критерию, который вычисляется по формуле:
Поскольку табличное значение F(0,05; 1; 17) = 4,45 и |F| < Fтаб, то делаем вывод об неадекватности эконометрической модели.
Методом математической экстраполяции составим прогноз показателя на следующие 4 недели.
Y(22) = 248,4142 - 56,6645 / 22 = 245,8385,
Y(23) = 248,4142 - 56,6645 / 23 = 245,9505,
Y(24) = 248,4142 - 56,6645 / 24 = 246,0532,
Y(25) = 248,4142 - 56,6645 / 25 = 246,1476.