3.2. Описание случайных величин

Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее, какое именно.

Дискретной (прерывной) называется СВ, принимающая отдельные друг от друга значения, которые можно пронумеровать. Возможные значения непрерывных СВ не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток. СВ полностью описывается своим законом распределения.

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь три формы.

1. Рядом распределения дискретной СВ Х называется таблица, где перечислены возможные (различные) значения этой СВ с соответствующими им вероятностями . При этом

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником (полигоном) распределения.

2. Функцией распределения СВ Х называется функция , выражающая вероятность того, что Х примет значение, меньшее, чем какое-то заданное конкретное значение : .

Функцию распределения иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения - универсальная характеристика СВ. Она существует для всех СВ: как дискретных, так и непрерывных.

Свойства функции распределения.

1) Функция есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при имеет место соотношение .

2)

3) Для дискретных СВ есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная cлева.

4) Если случайная величина X непрерывна, то P(X = ) = 0 и можем записать P( < X < ) = P( £ X < ) = P( < X £ ) = P( £ X £ ) = F() - F().

Величина , определяемая равенством (где р задается), называется квантилем порядка р. Квантиль порядка называется медианой, квантили порядка 0.1, 0.2, ..., 0.9 называются децилями, а квантили порядка 0.25, 0.5, 0.75 называются квартилями.

Если функция распределения везде непрерывна и имеет производную, то СВ называется непрерывной в узком смысле слова или просто непрерывной. Если функция на некоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы, СВ называется смешанной.

3. Функция плотности распределения есть предел отношения вероятности попадания СВ в интервал к ширине этого интервала при ее стремлении к нулю:

.

Функцию называют также плотностью вероятностей, кривой плотности распределения. Плотность распределения существует только для непрерывных СВ и имеет следующие основные свойства:

;

Каждая форма закона распределения (ряд распределения, функция распределения, плотность распределения) представляет собой некоторую функцию и полностью описывает СВ с вероятностной точки зрения. Часто на практике требуется существенные сведения относительно СВ выразить в сжатой форме с помощью числовых (точечных) характеристик.

Основными числовыми характеристиками СВ являются следующие.

1. Математическое ожидание СВ Х это ее среднее значение, которое вычисляется по формулам (соответственно, для дискретной и непрерывной СВ):

2. Мода СВ - ее наиболее вероятное значение для дискретной величины, а для непрерывной величины это то значение, в котором плотность распределения вероятностей максимальна.

3. Медиана случайной величины Х - такое ее значение , для которого , т.е. одинаково вероятно, окажется ли СВ меньше или больше . Геометрически медиана - это абсцисса точки, в которой ее площадь, ограниченная функцией плотности распределения, делится пополам.

4. Дисперсией СВ называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины (центрированной СВ называется разность между СВ Х и ее математическим ожиданием):

.

5. Средним квадратическим отклонением СВ Х называется положительный корень из дисперсии .

6. Начальным моментом k - го порядка величины Х называется математическое ожидание k -й степени этой СВ. Для дискретной и непрерывной СВ этот момент вычисляется, соответственно, по формулам:

.

7. Центральным моментом к-го порядка СВ Х называется математическое ожидание к-й степени центрированной СВ Х:

.

Математическое ожидание СВ Х есть ее первый начальный момент, а дисперсия - второй центральный.

Второй и третий центральные моменты выражаются через начальные моменты зависимостями:

.

8. Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (или скошенности) распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания (или в механической интерпретации, масса распределена симметрично относительно центра тяжести), то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю. Коэффициент асимметрии (или просто асимметрия) определяется зависимостью .

9. Четвертый центральный момент служит для характеристики "крутости", т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Это свойство распределения описываются с помощью так называемого эксцесса:

Для нормального распределения . Кривые, более островершинные по сравнению с нормальным законом, обладают положительным эксцессом; кривые более плосковершинные - отрицательным эксцессом.