3.5. Статистическая проверка гипотез

Гипотезой называют любое предположение о виде или свойствах распределения наблюдаемых в эксперименте случайных величин. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Сложная гипотеза состоит из нескольких простых гипотез. Статистическая проверка гипотез осуществляется в несколько этапов по следующей схеме.

Этап 1. Выдвигают предположение - нулевую (основную) гипотезу .

Этап 2. Задают величину уровня значимости . Это вероятность того, что будет допущена ошибка первого рода, т.е. будет отвергаться правильная гипотеза.

Этап 3. Для каждой гипотезы должен быть разработан (обоснован математически) статистический критерий (решающее правило), как функция от результатов наблюдений .

Функция Z, как и всякая функция от результатов наблюдений, сама является случайной величиной и в предположении о справедливости гипотезы подчинена некоторому хорошо изученному (обычно заданному в форме таблицы) закону распределения с плотностью f(z). Всю область значений случайной величины Z можно разбить на три части (рис.7.3):

1 - область неправдоподобно малых значений критерия (левее точки );

2 - область естественных (или вероятных) значений, т.е. область принятия гипотезы ;

3 - область неправдоподобно больших значений (правее точки ).

Рис.3.2. Двухсторонняя критическая область критерия

Этап 4. Вычисляют критические точки , в зависимости от , числа опытов n, вида функции Z, а также с учетом того, какую основную опасность (гипотеза ) для утверждения представляют отклонения Z (слишком малые; слишком большие; и те, и другие) - совокупность значений критерия, при которых гипотезу отбрасывают.

Суммарная площадь критической области равна . В случае двухсторонней критической области левую и правую части определяют, исходя из условия равенства их площадей величине .

Наиболее часто используются критерии, приводящие либо к нормальному распределению, либо к распределению , либо к Т - распределению Стьюдента, либо к распределению Фишера. В этих случаях критические точки определяются с использованием таблиц квантилей соответствующих распределений следующим образом (табл.3.2).

Этап 5. В функцию Z подставляют имеющиеся конкретные выборочные данные и подсчитывают численное значение .

Если окажется, что это значение . принадлежит области вероятных значений Z, т.е. области 2, то гипотеза с вероятностью считается не противоречащей данным наблюдения. В противном случае делают вывод, что Z на самом деле не подчиняется закону f(z) (вероятность ошибки этого вывода равна ). Следовательно, гипотеза является несостоятельной, ее отбрасывают и принимают конкурирующую гипотезу .

Можно по наблюдаемому значению критерия и по соответствующим таблицам f(z) определить вероятность того, что значение обусловлено за счет чисто случайных причин. Если эта вероятность малой не является, то делается вывод о непротиворечивости исходных данных гипотезе .

Таблица 3.2

Вычисление критических точек для различных распределений

Распределение (используемая таблица)	Левосторонняя критическая область	Правосторонняя критическая область	Двухсторонняя критическая область
Нормальное (функция Лапласа)
- распределение (квантили - распределения)
Т-распределение Стьюдента
F-распределение Фишера

Примеры простейших гипотез

1. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

Критерий

где - объем выборки с большей дисперсией,

- объем выборки с меньшей дисперсией.

2. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события .

Критерий