3.4. Интервальные оценки параметров
Любое значение
искомого параметра а,
вычисленное на основе ограниченного
числа опытов, всегда будет содержать
элемент случайности. Такое приближенное,
случайное значение
называют оценкой
параметра а.
Оценка
называется состоятельной,
если с увеличением числа опытов
n она
приближается (сходится по вероятности)
к искомому параметру a.
Если
,
то оценка
,
удовлетворяющая такому условию,
называется несмещенной.
Если выбранная
нeсмещенная оценка обладает по сравнению
с другими наименьшей дисперсией, т.е.
,
то она называется эффективной.
Оценка называется достаточной, если любая независимая оценка полученная на основе данной выборки, не дает какой-либо дополнительной информации об оцениваемом параметре а.
Например, оценка дисперсии по формуле
,
является смещенной,
так как
,
поэтому лучше считать дисперсию по
формуле
.
Оценка неизвестного параметра одним числом называется тoчечной.
Статистическая оценка, определяемая двумя числами, концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр с некоторой вероятностью, называется интервальной.
Пусть для параметра
a
получена из опыта несмещенная оценка
.
Можно оценить достоверность, надежность
этой оценки, т.е. возможную ошибку при
замене a
на
.
Назначим некоторую
такую достаточно большую вероятность
(например,
= 0.9, 0.95, 0.99), что событие с вероятностью
можно считать практически достоверным,
и найдем такое значение
,
для которого
Тогда диапазон
практически возможных значений ошибки,
возникающей при замене a
на
,
будет
;
большие по абсолютной величине ошибки
будут появляться только с малой
вероятностью
(рис.3.1).
Последнее равенство
означает, что с вероятностью
неизвестное значение параметра a
попадает в интервал
,
а точнее случайный интервал
с вероятностью
накроет неслучайный параметр a.
Вероятность
называют доверительной
вероятностью,
а интервал
- доверительным
интервалом
параметра а.
Границы доверительного
интервала
и
называют доверительными
границами.
Рис.3.1. Графическое представление доверительного интервала
Получим приближенные доверительные интервалы для наиболее важных числовых параметров СВ.
Учитывая, что
математическое
ожидание
имеет приблизительно нормальный закон
с параметрами
,
то с использованием функции Лапласа
можно получить такие доверительные
границы, что вероятность нахождения
неизвестного параметра между ними
(площадь функции плотности в заданных
пределах) будет равна
.
В итоге для математического ожидания
получим доверительные границы (взяв
вместо неизвестной дисперсии ее оценку)
,
где
- обратная функция Лапласа.
Аналогично можно рассуждать и по отношению к дисперсии, хотя слагаемые в формуле для нее зависимы через выборочное среднее. При числе опытов не менее 20 оценка дисперсии приблизительно имеет нормальный закон с характеристиками
Принимая гипотезу
о нормальности оценки дисперсии, получим
для дисперсии
доверительные границы
.
Частные случаи доверительных границ для дисперсии.
Если
X - нормальная
величина, то
.
Тогда
.
Если X - равномерно распределенная на [a, b] величина, то
Тогда 
.
Аналогично можно получить доверительные границы для вероятности альтернативного признака (события А), если из n опытов событие А наблюдалось m раз:
.
Для коэффициента
корреляции
(принимая гипотезу о нормальности его
оценки с учетом некоторого ее смещения)
доверительные границы определяются
соотношением
.
Для повышения
точности расчетов доверительных
интервалов для коэффициента корреляции
(особенно при больших его значениях)
целесообразно использовать Z
- преобразование Фишера
Величина Z уже при небольших n с хорошим приближением распределена по нормальному закону с параметрами
.
Это позволяет получить доверительные границы для величины Z
.
Отсюда следует, что истинное значение коэффициента корреляции с той же доверительной вероятностью заключено в пределах
.
Нахождение Z
по вычисленному значению
и наоборот производится с использованием
таблиц Z
- преобразования.
В выше приведенных формулах оценки параметров случайных величин вычисляются следующим образом:
Пример 3.1. Сколько надо произвести наблюдений, чтобы с вероятностью 0,95 получить коэффициент корреляции с точностью 0,3?
Решение.
Для оценки точности коэффициента
корреляции имеем соотношение
Так как для
,
то требуемое количество наблюдений
.
Пример 3.2. С какой вероятностью можно утверждать, что возможность покупки изделия с дефектом находится в пределах от 8 до 12 процентов, если из 30 обследованных изделий, купленных в этом магазине, три оказались с дефектами?
Решение.
Имеем для точности альтернативного
признака параметр
Тогда
Искомая вероятность
