§ 3. Дифференциальные уравнения.
3.1. Основные понятия и определения .
Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и её производные различных порядков.
Дифференциальное уравнение относительно одной независимой переменной называется обыкновенным.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.
Например:
– ДУ 1-го порядка
– ДУ 2-го
порядка
Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения определяется следующим выражением:
(1)
Определение:
Решением дифференциального уравнения
называется такая функция
,
которая будучи подставленной в уравнение
вместе со своими производными, обращает
его в тождество (верное равенство).
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Определение: Общим решением дифференциального уравнения (1) называется функция вида
(2)
Если в (2) постоянным
придать конкретные
числовые значения, то полученная функция
называется частным решением
дифференциального уравнения.
3.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка определяется выражением:
(3)
Если уравнение
(3) разрешимо относительно
,
то уравнение (3) принимает вид:
(4)
Общим решением
уравнения (3) или (4) является множество
функций вида
,
где
–
произвольная постоянная. Придавая
различные значения произвольной
постоянной
,
можно получить частные решения. На
плоскости
общее решение представляет собой
семейство интегральных кривых,
соответствующих каждому частному
решению.
Условия вида
при
или
называются начальными условиями.
Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения (3) и (4), удовлетворяющая начальному условию, называется задачей Коши.
3.3. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными.
Определение:
Уравнение вида
или
называется уравнением с разделенными
переменными.
Это самый простой тип дифференциальных уравнений. Интегрируя это уравнение, находят общее решение.
Пример 1:
– этот результат
называется общим интегралом.
– этот результат
называется общим решением.
Определение: Дифференциальное уравнение, в котором путем преобразований переменные могут быть разделены, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Уравнение этого типа можно представить в виде
.
Для решения такого уравнения нужно проделать следующее:
.
Тогда получаем
– уравнение с
разделяющимися переменными.
Его можно интегрировать.
Пример: Найти общее и частное решение дифференциального уравнения.
–общее
решение
–частное
решение