Раздел 2. Теория вероятностей и математическая статистика

§ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей .

Теория вероятностей – это математическая наука, которая изучает свойства массовых случайных событий или явлений, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий.

Предметом теории вероятностей является математический анализ случайных явлений, которые характеризуются тем, что наблюдение над ними не всегда приводит к одним и тем же исходам и что они обладают некоторой регулярностью.

Испытанием будем называть эксперимент, опыт, наблюдение.

Результат испытания назовем событием. События будем обозначать большими буквами латинского алфавита.

События, которые в результате могут происходить или не происходить называются случайными.

Если при воспроизведении определенного комплекса условий событие обязательно наступит, то оно называется достоверным, если событие никогда не наступит, то оно называется невозможным.

События называются независимыми, если вероятность появления одного события не влияет на вероятность появления другого.

Противоположным событию A называется событие, состоящее в том, что событие A не произошло.

Пример 1. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, тогда событие - выпадение нечетного числа очков.

1.1. Элементы комбинаторики .

Комбинаторика – это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.

Существуют два основных правила комбинаторики:

1. Правило « суммы»: Если элемент можно выбрать способами, а элемент – способами, то элемент «либо , либо » можно выбрать способами.

2. Правило « произведения»: Если элемент можно выбрать способами, а элемент – способами, то элемент « и и » можно выбрать способами.

Существует 3 типа комбинаций:

1. Перестановки – это такой тип комбинаций, который связан с нумерацией или перестановкой элементов.

Теорема 1: Число перестановок без повторений вычисляется по формуле

Теорема 2: Число перестановок с повторениями вычисляется по формуле

,

где – число повторов.

Пример 3. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове « математика»?

2. Сочетания – это такой тип комбинаций, который связан с выбором элементов.

Теорема 3: Число сочетаний без повторений вычисляется по формуле

Пример 4. Сколько существует способов выбора 3 студентов на конференцию из 20?

Теорема 4: Число сочетаний с повторениями вычисляется по формуле

Пример 5. В буфете имеются 4 типа пирожных. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

3. Размещения – это такой тип комбинаций, который связан и с выбором и перестановкой элементов.

Теорема 5: Число размещений без повторений вычисляется по формуле

Пример 6. Сколькими способами можно выбрать старосту и профорга, если в группе 8 человек?

Теорема 6: Число размещений с повторениями вычисляется по формуле

Пример 7. Сколько существует пятизначных номеров телефонов?