1.2. Классическое определение вероятности .

Под вероятностью (будем обозначать ) случайного события понимают меру возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания).

При классическом определении за вероятность события А принимается отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу возможных исходов :

.

Основные свойства вероятности случайного события.

1. Вероятность невозможного события равна 0.

2. Вероятность достоверного события равна 1.

3. Вероятность суммы прямого и противоположного событий равна единице.

Пример 2. Вероятность выигрыша лотерейного билета равна 0,001. Найти вероятность проигрыша.

4. Вероятность произвольного случайного события принимает значения из отрезка [0, 1].

Существует ряд задач, в которых и не даны в явном виде, их необходимо находить, используя формулы комбинаторики.

1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей .

Теорема 1: Вероятность суммы двух несовместных событий вычисляется по формуле

Теорема 2: Вероятность суммы двух совместных событий вычисляется по формуле

Теорема 3: Вероятность наступления хотя бы одного из нескольких независимых событий вычисляется по формуле

,

Если все вероятности одинаковые, т. е. , то формула перепишется в виде

Пример 1. Найти вероятность того, что хотя бы один студент из 20 заболеет гриппом, если вероятность заболеть 0,2.

Решение.

– «хотя бы один студент из 20-ти заболеет гриппом»

Ответ: вероятность того, что хотя бы один студент из 20 заболеет гриппом, равна 0,988471.

Теорема 4: Вероятность произведения нескольких независимых событий вычисляется по формуле

Пример 2. Три стрелка одновременно стреляют в мишень. Вероятности попадания равны 0,9,08 и 0,7 соответственно. Найти вероятность того, что все стрелки попадут в мишень. Решение.

– «все три стрелка попадут в мишень»

– « i-й стрелок попадет в мишень»,

Ответ: вероятность того, что все три стрелка попадут в мишень равна 0,504.

Теорема 5: Вероятность одновременного наступления нескольких зависимых событий вычисляется по формуле

,

где – условные вероятности.

Пример 3. Найти вероятность того, что выпадут три туза из колоды 36 карт.

Решение.

– «выпадут три туза»

Ответ: вероятность того, что выпадут три туза, равна 0,00056.

1.4. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Теорема 1: Если событие может наступить при условии наступления одного из событий , то вероятность этого события находят по формуле полной вероятности

Теорема 2: Событие может наступить при условии наступления одного из событий . Известно, что событие наступило. Тогда вероятность одного из событий находят по формуле Байеса.

Следствие:

Пример 1. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение.

А ={ будет куплена продукция высшего сорта }

= { куплена продукция, принадлежащая i- му предприятию},

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

Ответ: вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта, равна 0,135.

Пример 2. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.

а) Каков процент брака на конвейере?

б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?

Решение.

Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: – взятая наудачу деталь обработана на -ом станке, .

Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):

Зависимости между производительностями станков означают следующее:

.

А так как гипотезы образуют полную группу, то .

Решив полученную систему уравнений, найдем: .

а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:

.

Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.

б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:

,

,

.

Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.