Последняя цифра

– Рассмотрим последовательность степеней 2ки: 2,4,8,16,32,64…

– Что мы можем заметить из данной записи?

(– и оканчиваются на 2, и оканчиваются на 4.)

– Поскольку очередная цифра полностью определяется последней цифрой предыдущей степени, то происходит зацикливание: и оканчиваются на 2, и оканчиваются на 4, и оканчиваются на 8 и т.д. Чему равна длинна цикла?

(– 4.)

–(стр.99 №156) На какую цифру оканчивается число .

(– Выпишем последние цифры нескольких начальных степеней 7ки: 7, 9, 3, 1, 7… На пятом шаге последняя цифра повторилась, значит длинна цикла = 4 и надо разделить 777 на 4 с остатком. 777=194*4+1. И так последняя цифра числа будет 7.)

–(стр.99 №157) Найдите остаток от деления на 3.

(– Выпишем остатки от деления на 3 несколько начальных степеней 2ки. Может быть там тоже есть зацикливание. Вспомним утверждение 2 из раздела остатки. 2 делится на 3 с остатком 2, тогда делится на 3 с остатком 1, при дальнейшем возведении 2ки в степень остатки от деления на 3будут чередоваться: 2,1,2,1,2,1… Значит остаток от деления на 3 будет равен 1.)

Метод математической индукции

– В чем суть ММИ?

(– 1. [БАЗА] Показываем, что доказываемое утверждение верно для некоторых простейших частных случаев (n = 1)

2. [ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ] Предполагаем, что утверждение доказано для первых K случаев.

3. [ШАГ] В этом предположении доказываем утверждение для случая n=K+1.

4. [ВЫВОД] Утверждение верно для всех случаев, то есть для всех n.)

–(стр.101 №163) Докажите, что для любого натурального n число делится на 6.

(– 1) Проверим базу индукции. При n=1, делится на 6. Значит, при n=1 утверждение истинно.

2) Пусть утверждение истинно для n=k. Докажем истинность утверждения при n=k+1. Подставим k+1 в данное выражение вместо n: . В полученной сумме первое слагаемое делится на 6 по предположению индукции, второе слагаемое делится на 6, т.к. произведение (k+1)k четное, и число 12 делится на 6. Т.к. каждое слагаемое делится на 6, то и вся сумма делится на 6. Значит, предполагая, что утверждение истинно для n=k, доказали, что оно истинно для n=k+1.)

Домашнее задание

№58 Сумма 3ех целых чисел четна. Четно или нечетно их произведение? (стр. 41)

№69 У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то из них оказывается не менее половины всех овец, остальные сговариваются и раскулачивают его: каждый берет себе столько овец, сколько у него уже есть. Если у 2их по 64 овцы, то раскулачивают кого-то одного из них. Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что в результате все овцы, собрались у одного крестьянина. (стр.44)

№72(б) Найдите остатки от деления: 1) 1989*1990*1991+ на 7

2) на 8 (стр. 48)

№95 Сколько натуральных чисел от 5 до 41 делятся и на 2 и на 3? (стр.63)

№130 Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или 1. (стр. 86)

№158 Найдите остаток от деления на 7. (стр. 99)

№166 Доказать, что для любого натурально n число делится на 9. (стр. 103)