2.3. Уравнение Фурье для плоской стенки

Получим выражение для расчета теплопроводности через однородную, однослойную, плоскую стенку бесконечной длины без внутренних источников теплоты (рис. 2).

Пусть толщина стенки равна , коэффициент теплопроводности материала постоянен и равен λ, на поверхностях стенки поддерживаются постоянные, не зависящие от времени температуры Т₁ и Т₂ (Т₁Т₂). Температурное поле одномерное и меняется лишь вдоль оси Х.

Рис. 2. К выводу уравнения теплопроводности для плоской стенки

Для бесконечно тонкого слоя dx, взятого на расстоянии х от поверхности, на основании закона Фурье можно записать:

dT q

q = - λ —— или dT = - —— dx .

dx λ

После интегрирования дифференциального уравнения

q

Т = - —— x + C . (2.1)

λ

Постоянную интегрирования С можно определить из граничных условий первого рода:

при х = 0, Т = Т₁;

при х =  Т = Т₂.

Следовательно, при х = 0 и Т = Т₁ постоянная интегрирования

С = T₁.

После подстановки х =  и Т = Т₂, в (2.1) получаем расчетную формулу для теплопроводности через однослойную плоскую стенку

λ

q = —— (T₁ – T₂)



или

λ

Q = —— (T₁ – T₂)  F , (2.2)



где F – площадь боковой поверхности исследуемого образца.

Полный тепловой поток через стенку с поверхностью F за время τ

λ

Q = F — (T₁ – T₂) τ , кДж.



Удельный тепловой поток теплопроводностью через многослойную плоскую стенку

_n λ_i

q = (T₁ – T_n+1 )  — , кДж/м². (2.3)

_i=1 _i

2.4. Уравнение Фурье для цилиндрической стенки

Распределение теплоты в цилиндрической стенке будет являться одномерной задачей, если ее рассматривать в цилиндрических координатах T = (r), где r – радиус стенки. Для этого случая градиент температуры

dT

grad T = —— , K/м

dr

и закон Фурье будет иметь следующий вид:

dT

q = - λ —— .

dr

Для трубы длиной ℓ с поверхностью F = 2πr ℓ

dT

Q = - 2πr ℓ λ —— . (2.4)

dr

Разделим переменные dT , dr

Q dr

dT = - ———  ——

2π ℓ λ r

и проинтегрируем полученное выражение, тогда получим

Q

T = C - ———  ℓnr .

2π ℓ λ

Это выражение показывает, что распределение температуры в стенке подчиняется логарифмическому закону. Интегрирование уравнения (2.4) при изменении температуры от T₁ до T₂ и радиуса от r₁ до r₂ позволяет получить следующее выражение для расчета полного теплового потока в единицу времени:

T₁ – T₂ T₁ – T₂

Q = —————— = ————.

1 d₂ R_λ

——  ℓn —

2π ℓ λ d₁

Для определения теплового потока через многослойную цилиндрическую стенку необходимо просуммировать термические сопротивления R_λ отдельных слоев. Тогда получим

T₁ – T_n+1 T₁ – T_n+1

Q = —————— = ————— .

_n 1 d_{i+1 n}

 ———  ℓn ——  R_λi

_i=1 2π ℓ λ_i d_{i i=1}