10.Розрахунок інтегрально квадратичної оцінку системи. За допомогою оцінки знаходдимо оптимальний коефіцієнт підсилення регулятора.

Найпростіша квадратична оцінка якості керування є функціоналом від динамічної помилки системи і визначається за формулою

Динамічна похибка виражає миттєве відхилення регульованої величини від її усталеного значення Розроблені різні методи обчислення квадратичної оцінки на основі формули Рейлі. Зокрема, Мак–Леном отримані вирази для квадратичних оцінок якості керування для випадку, коли зображення динамічної похибки системи є дробово-раціональною функцією

зі степенем полінома чисельника меншим на одиницю від степені полінома знаменника.

Для даної системи передаточна функція замкненої системи має вигляд:

Для того щоб знайти інтегральну квадратичну оцінку спочатку знайдемо зображення динамічної помилки:

Використаємо формулу Маклена для n=3

Прирівнявши коефіцієнти при відповідних степенях p отримаємо, , , , , ,

Для знаходження оптимального коефіцієнта підсилення регулятора обчислимо інтегральну квадратичну оцінку при невідомому .

В даному випадку передаточна функція замкнутої системи набуде вигляду:

=

Знайдемо похідну за допомогою програми Matlab, використавши команду polyder

Похідну обчислюємо за допомогою Matlab функції polyder, множення поліномів здійснюється за допомогою функції conv.

>> b2=[18.05 0];

>> b1=[263.1 0];

>> b0=[827.93 0];

>> c3=[18.05 0.792];

>> c2=[263.1 11.542];

>> c1=[827.93 36.32];

>> c0=[519.626 45.59 1];

>> a1=conv(conv(conv(b2,b2),c0),c1)+conv((conv(b1,b1)-2*conv(b0,b2)),conv(c0,c3))

a1 =

1.0e+008 *

5.0908 0.6700 0.0294 0.0004 0 0 \\ =

>> a2=conv(conv(conv(b0,b0),c2),c3)

a2 =

1.0e+009 *

3.2553 0.2856 0.0063 0 0 \\ =

>> a3=[0 a2(1) a2(2) a2(3) a2(4) a2(5)] \\ Так як розмірності двох доданків чисельника не . співпадають міняємо розрядність другого доданка

a3 =

1.0e+009 *

0 3.2553 0.2856 0.0063 0 0

>> a=a1+a3

a =

1.0e+009 *

0.5091 3.3223 0.2886 0.0063 0 0 \\ Чисельник

>> z1=conv(c1,c2) \\ =

z1 =

1.0e+005 *

2.1783 0.1911 0.0042

>> z2=[0 z1(1) z1(2) z1(3)] \\ міняємо розмірність

z2 =

1.0e+005 *

0 2.1783 0.1911 0.0042

>> z=2*conv(conv(c0,c3),(-conv(c0,c3)+z2)) \\ знаменник

z =

1.0e+009 *

-0.1759 4.0398 0.8912 0.0783 0.0034 0.0001 0.0000

>> [q,p]=polyder(a,z) \\ знаходимо похідну

q =

1.0e+019 *

Columns 1 through 10

0.0090 0.1169 -1.2815 -0.2247 -0.0068 0.0012 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

Column 11

0

p =

1.0e+019 *

Columns 1 through 10

0.0031 -0.1422 1.6007 0.7173 0.1426 0.0167 0.0013 0.0001 0.0000 0.0000

Columns 11 through 13

0.0000 0.0000 0.0000

>> n=roots(q) \\прирівнюємо чисельник до 0 і знаходимо корені

n =

0

-20.1062

7.2273

0.0901

-0.0441

-0.0440 + 0.0002i

-0.0440 - 0.0002i

-0.0438 + 0.0002i

-0.0438 - 0.0002i

-0.0436

Оптимальні коефіцієнти підсилення регулятора беремо , (додатні корені часельника похідної інтегральну квадратичної оцінки)

За допомогою Matlab побудуємо перехідні характеристики системи при =15(задане значення регулятора) та =7,227 і =0,09

Рис 10.1 Перехідні характеристики системи при =7,227 та =0,09

Висновок:

Як бачимо перехідний процес в САР при k_п1=0,09 має менший час перехідного процесу та відсутнє перерегулювання, але при цьому в системі наявна усталена похибка. При k_п2=7,227 спостерігається коливний характер перехідного процесу та значне перерегулювання при відсутній усталеній похибці. Вибираємо коефіцієнт передачі k_п1=0,09.