2. Довідковий матеріал з теми «Нерівності» (алгебра, 9 клас)

Означення

Приклади

1. Нерівності. Доведення нерівностей

1.1

Два вирази, поєднані знаками відношення (крім знаку «=»), називаються нерівністю.

; ; ;

1.2

Види нерівностей:

• числові нерівності (обидві частини нерівності - числа);

• нерівності зі змінними, які при одних значеннях можуть бути правильними, а при інших - неправильними.

- числова нерівність;

- нерівність зі змінною .

1.3

Види нерівностей:

• строгі й нестрогі;

• правильні й неправильні.

- строгі нерівності;

- нестрогі нерівності.

, - правильні нерівності;

, - неправильні нерівності.

1.4

Доведення нерівностей

Щоб довести нерівність , тобто довести, що вона є правильною при заданих умовах, треба:

1) скласти різницю лівої та правої частин нерівності;

2) перетворити складену різницю так, щоб можна було визначити її знак;

3) зробити висновок.

1. Довести нерівність

Доведення

Розглянемо різницю

Отже, при будь-якому .

2. Довести, що при додатних і правильна нерівність , тобто сума двох додатних взаємно обернених чисел не менша ніж 2.

Доведення

Складемо різницю лівої та правої частин нерівності та перетворимо її: . Оскільки і для будь-яких додатних і , то .

Отже, нерівність доведено.

Нерівність перетворюється на рівність за умови, що .

Означення

Приклади

2. Числові нерівності

2.1

Число а вважається більше b ( ), якщо різниця а – b - число додатне; число а менше b ( ), якщо різниця а – b - число від’ємне;

число а дорівнює b ( ), якщо різниця а – b дорівнює нулю.

Якщо , тоді .

Якщо , тоді .

Якщо , тоді .

2.2

Властивості числових нерівностей

1. Якщо , то .

2. Якщо , то .

3. Якщо , то .

4. Якщо і , то .

5. Якщо і , то і .

6. Якщо і , то і .

7. Якщо ( ), то .

8. Якщо ( ), то .

9. Якщо ( ), то .

1. Відомо, що . Тоді:

1) ;

2) якщо , то ;

3) ;

4) якщо , то ;

5) якщо , то і ;

6) якщо , то і ;

7) якщо , то ;

8) якщо , то ;

9) якщо , то .

2. Відомо, що . Порівняйте значення виразу і .

Розв’язання

Оскільки , то за властивістю 6 маємо: , а за властивістю 3: .

2.3

Оцінювання виразів

1. Якщо про деякий вираз (величину) А відомо не його точне значення, а нерівність, яку задовольняє А: , де b і с – деякі дійсні числа, то кажуть, що ми оцінили значення виразу (величини) А.

2. Якщо необхідно оцінити значення виразу Р(х) (величини) зі змінною х, про яку відомо, що ( ), то треба:

1. встановити правильну по-слідовність дій, яку слід виконати з х, щоб утворився вираз Р(х);

2. до заданої нерівності застосувати відповідні вла-стивості числових нерівностей (усі властивості числових нерівностей, які були роз-глянуті для нерівностей вигляду , виконуються й для подвійних нерівностей) у встановленому порядку.

Оцінити периметр правильного трикутника зі стороною см, якщо .

Розв’язання

Периметр правильного трикутника зі стороною обчислюється за формулою: . Помножимо на 3 всі частини заданої нерівності, запишемо результат: , , .

Отже,

2.4

Додавання та множення

числових нерівностей

1. Теорема. Якщо почленно додати правильні нерівності однакового знака, залишивши їх спільний знак, то дістанемо правильну числову нерівність.

Якщо і , то .

Якщо і , то .

2. Теорема. Якщо почленно помножити правильні нерівності однакового знака, в кожній частині яких – додатні числа, залишивши їх спільний знак, то дістанемо правильну нерівність.

Якщо і , то .

Якщо і , де , то .

Якщо і , n – натуральне число, то .

Відомо, що і . Оцініть: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Розв’язання

1. За теоремою про почленне додавання нерівностей маємо: .

2. За теоремою про почленне множення нерівностей маємо: .

3. Запишемо у вигляді суми: . Оцінимо : або . За теоремою про по членне додавання нерівностей маємо: .

4. Запишемо частку у вигляді добутку . Оцінимо : або . За теоремою про почленне множення нерівностей маємо: .

3. Нерівність з однією змінною

3.1

Поняття нерівності зі змінною

Якщо два вирази зі змінними з’єднати одним зі знаків: (більше), (менше), (більше або дорівнює), (менше або дорівнює), то дістанемо нерівність зі змінною.

Якщо з’єднати три вирази зі змінними знаками: , , , , то дістанемо подвійну нерівність.

;

;

.

3.2

Розв’язком нерівності називається значення змінної, що перетворює цю нерівність на правильну числову нерівність.

Число 5 є розв’язком нерівності , оскільки при ця нерівність перетворюється на правильну числову нерівність , тобто .

3.3

Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає.

1. Розв’язком нерівності є множина всіх дійсних чисел.

2. Нерівність не має розв’язків, бо модуль будь-якого числа – число додатне.

3.4

Якщо деяке значення змінної є розв’язком двох або більше нерівностей, то кажуть, що це значення змінної є розв’язком системи нерівностей.

1. Число 3 є розв’язком системи нерівностей , оскільки воно є розв’язком кожної з нерівностей.

2. Числа -1; 0; 2 не є розв’язками системи , оскільки і не є розв’язками жодної з нерівностей, а є розв’язком тільки другої нерівності системи.

3.5

Якщо деяке значення змінної є розв’язком хоча б однієї з поданих нерівностей з однією змінною, то кажуть, що це значення змінної є розв’язком сукупності нерівностей.

1. Число 3 є розв’язком сукупності , оскільки воно є розв’язком нерівності .

2. Число 1 не є розв’язком сукупності , оскільки не є розв’язком жодної з нерівностей , .