7. Метод інтервалів

Ідея методу інтервалів полягає в поділі числової прямої на інтервали, у внутрішніх точках яких вирази (або множники) не змінюють знака.

1. Якщо на проміжку функція визначена і не дорівнює нулю, то для всіх значень змінної з цього проміжку вона зберігає свій знак.

2. Алгоритм розв’язування нерівностей методом інтервалів:

• знайти ;

• знайти нулі функції ( , для яких );

• знайти та показати на координатній прямій проміжки , на яких функція зберігає знак;

• записати розв’язок нерівності .

Приклади

1. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Для того, щоб позбавитись знаку модуля, необхідно розглянути різноманітні випадки, коли вирази , і змінюють знак. Відзначимо на числовій прямій значення , при яких вказані вирази перетворюються на нуль. Це точки , 0 і 1. Цими точками числова пряма буде поділена на 4 інтервали: ; ; ; . Розглянемо їх послідовно.

а) . В даному інтервалі ; ; , тобто нерівність набуває такого вигляду: . Зведемо подібні доданки й отримаємо:

б) . Маємо ; ; і початкову нерівність перепишемо таким чином:

,

що неможливо, тобто на даному інтервалі розв’язків немає.

в) . Нерівність отримає вигляд:

.

Таким чином, в даному інтервалі розв’язків також немає.

г) . В даному випадку ; . Тоді отримуємо:

,

що також неможливо. Об’єднуючи всі інтервали, отримуємо:

2. Розглянемо нерівність виду , де - дійсні числа, такі, що . Тоді для всі множники лівої частини нерівності будуть додатними і добуток також. Для останній множник – від’ємний, але всі інші залишаються додатними, і тому весь добуток буде від’ємним. Аналогічно для лише останній та передостанній множники будуть від’ємними, всі ж інші збережуть додатне значення, і добуток в цілому також. Продовжуючи послідовно досліджувати всі інші інтервали, переходимо до висновку, що знак лівої частини нерівності буде змінюватись від інтервалу до інтервалу так, як показано нижче:

3. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Перший множник в нуль не перетворюється й завжди додатний, тому, розділивши обидві частини нерівності на нього, отримуємо , де множники перетворюються на нуль в точках і . Перевіривши знаки виразу в інтервалах ; і , які чередуються, починаючи з «+», отримаємо інтервал: .

4. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Знайдемо значення , при яких значення виразів, що стоять під знаком модуля, дорівнюють нулю: , ; , .

Значення і розбивають координатну пряму на три проміжки.

Розкриємо модулі на кожному з проміжків і розв’яжемо відповідну нерівність.

1) , або належить проміжку , що скорочено записують так: . При таких значеннях вираз приймає від’ємні значення, тому ; вираз також приймає від’ємні значення, тому . Тоді нерівність буде мати вигляд . Розв’яжемо отриману нерівність:

Крім того, значення повинні задовольняти нерівності , а значить, і системі нерівностей . Множиною розв’язків даної системи є проміжок .

2) , або . Значення виразу при таких значеннях невід’ємні, тому ; вираз приймає від’ємні значення, тому . Задана нерівність на проміжку без знака модуля має вигляд: , звідки . Розв’язками останньої нерівності є будь-які числа. Тому всі числа з проміжку є розв’язками заданої нерівності.

3) , або . На даному проміжку вирази і приймають невід’ємні значення, тому , . Задана нерівність на проміжку без знаку модуля запишеться так: , звідки ; .

Значення повинні задовольняти двом нерівностям: і , тобто системі , множиною розв’язків якої є проміжок .

Отже, множиною розв’язків заданої нерівності є об’єднання проміжків , і , тобто проміжок .

Відповідь: .