1.11 Пример "Проблема общего'

Рассмотрим следующую очень стилизованную модель (Hardin (1968)). Представим себе, что есть n фермеров. Летом их козы (коровы) пасутся на зеленом поле. Обозначим через g_i — число коз у i-ого фермера, тогда численность всего стада — G = g₁ + … + g_n. Затраты на покупку и содержание козы равны с (независимо от числа коз у фермера). Ценность (стоимость) одной козы при общем числе коз G есть v(G).

Предполагая, что козе необходим определенный уровень минимального пропитания (для выживания), считаем, что есть некоторое максимальное число коз, которое может прокормиться, G_max : v(G) > 0 для G < G_max , но v(G) = 0 для G > G_max. Можно предположить, что если есть одна коза, то она спокойно прокормится; можно добавить еще одну и т.д., но с ростом числа коз, естественно считать, что ценность падает v'(G)<0, (G<G_max) и v"(G)<0.

Весной фермеры выбирают (одновременно и независимо), сколько заводить коз (g_i для i-ого фермера). Выигрыш фермера i есть

(*)

Следовательно, если (g*₁, ..., g*_n) — р. Н., то g*_i должно максимизировать (*) при (g*₁, ..., g*_i-1, g*_i+1, …, g*_n) • Условие 1 порядка есть

где

Подставим в это равенство g*_i и, просуммировав по i, получаем (разделив на n)

Рассмотрим теперь, что произойдет, если "социальный плановик" будет искать социальный оптимум, то есть решать задачу нахождения

Здесь условие 1-го порядка есть:

v(G**) + G**v'(G**)  с = 0.

Нетрудно проверить, что G* > G*** , т. е. слишком много коз! Иными словами, общие ресурсы используются слишком интенсивно.

1.12 Равновесие "дрожащей руки

Мы уже обсуждали ранее слабо доминируемые стратегии и сейчас вновь обратимся к ним. Рассмотрим игру, изображенную на рис. 26.

Рис. 26.

Легко видеть, что в этой игре два р.Н. в чистых стратегиях (u, L) и (D, R) , причем второе равновесие характерно тем, что оба игрока выбирают свои слабо доминируемые стратегии.

Мы остановимся сейчас на определении совершенного равновесия (по Нэшу) дрожащей руки игры в нормальной форме¹⁹, определение которого восходит к работе Рейнхарда Зельтена²⁰ Selten (1975). Такое равновесие "выдерживает" возможность того, что с некоторой очень небольшой вероятностью игроки делают ошибки (грубо говоря, "дрожащей рукой" не попадая на нужные кнопки).

Для произвольной игры в нормальной форме Г = {I, (_i),(u_i)} можно определить "возмущенную" игру Г_ = {I, (S^_i), (u_i)} , выбирая для каждого игрока i и каждой чистой стратегии s_i  S_i числа _i(s_i)  (0,1) так, что < 1, и затем, определяя множество "возмущенных" стратегий как

и

Иными словами, в игре Г_ каждый игрок i играет каждую свою стратегию s_i с вероятностью не меньшей чем некоторая минимальная вероятность e_i(s_i), которая интерпретируется как неизбежная вероятность сыграть s_i по ошибке.

Определение 1.12.1 Равновесие по Нэшу  в игре (в нормальной форме) Г = {I, (_i),(u_i)} называется равновесием дрожащей руки, если существует такая последовательность возмущенных игр _; сходящихся к Г (в том смысле, что = 0 для любых iI и s_iS_i), что существует последовательность равновесий (в соответствующих играх Г_ek) , сходящаяся к , т.е = .

Таким образом, рассматриваемые равновесия — это те равновесия по Нэшу, которые "выживают" при возможных ошибках.

Заметим, что в определении требуется лишь существование возмущенных игр, имеющих равновесия, близкие к . Более сильным было бы требование "выживания" при всех возмущениях исходной игры.

Предложение 1.12.1 (Selten 1975). В смешанном расширении любой игры Г = {I, (S_i),(u_i)} с конечными множествами стратегий S₁, ..., S_n существует равновесие дрожащей руки.

Предложение 1.12.2 (Selten (1975)). Равновесие по Нэшу а в игре в нормальной форме Г = {/, (S^, (ui)} является совершенным равновесием дрожащей руки (в игре в нормальной форме) тогда и только тогда, когда существует последо­вательность таких вполне смешанных стратегий a^k (т. е. стратегий, в кото­рых все чистые стратегии играются с положительными вероятностями), что a^k —Y а и <Ji является лучшим ответом на любой элемент последовательности {сг^}^_₁ для любого г = 1,. . . , п .

Предложение 1.12.3 (Selten (1975)). Если а = (<т;,. . . , <т_п) — совершенное рав­новесие дрожащей руки (в игре в нормальной форме), то <т; не является слабо доминируемой ни для какого i = 1,. . ., п .