1.14 Дополнение. Решение биматричных игр 2x2

В этом параграфе мы подробно остановимся на анализе решений биматричных игр, в которых у каждого из игроков есть только две стратегии. Разумеется, эти игры представляют собой частный случай рассмотренных ранее игр, но здесь появляется возможность дать наглядную графическую интерпретацию поиска равновесных ситуаций в игре. (Наше изложение здесь следует книге Воробьева (1985).) Рассмотрим биматричную игру 2x2 с матрицей

или, как мы уже отмечали, игру, выигрыши в которой можно задать с помощью двух матриц:

первая из которых описывает выигрыши игрока 1, а вторая — выигрыши второго.

Очевидно, что смешанные стратегии игроков в случае игр 2x2 полностью описываются вероятностями р и q выбора игроками своих первых чистых стратегий. (Вторые чистые стратегии выбираются, соответственно, с вероятностями 1 — р и 1 — q .) Поэтому, поскольку 0 < р , q < 1 , каждая ситуация в смешанных стратегиях в биматричной игре 2x2 представляется как точка на единичном квадрате.

Напомним, что пара смешанных стратегий *₁ = (р*, 1  р*) и

*₂ = (q*, 1  q*) является равновесием по Нэшу, если смешанная стратегия *_i одного игрока является лучшим ответом на смешанную стратегию *_j другого игрока, т. е. выполняются следующие неравенства:

Рассмотрим уже знакомый нам пример "Орел или Решка". Пусть игрок 1 считает, что игрок 2 будет выбирать "Орла" с вероятностью q и "Решку" с вероятностью 1  q. Ожидаемый выигрыш игрока 1 от разыгрывания "Орла" будет (1)q + 1•(1  q) = 1  2q , а от разыгрывания "Решки" 1•q + ( 1)•1  q) = 2q  1. Если 1  2q > 2q  1 , т. е. q < 1/2, то лучшей чистой стратегией игрока 1 будет Орел, а если q > 1/2, то Решка, и игроку 1 будет все равно, что разыгрывать, если q = 1/2 . Рассмотрим возможные смешанные стратегии игрока 1 . Пусть (р, 1 — р) обозначает смешанную стратегию, в которой игрок 1 разыгрывает "Орла" с вероятностью р. Для каждого значения q мы можем вычислить значения р = p*(q), такие что, (р, 1  р) будет являться лучшим ответом игрока 1 на (q, 1  q) игрока 2.

Ожидаемый выигрыш игрока 1 от разыгрывания (р, 1  р) , когда игрок 2 разыгрывает (q, 1  q) будет

Ожидаемый выигрыш игрока 1 повышается (в зависимости от р), если 2  4q > 0 и уменьшается, если 2  4q < 0, поэтому лучший ответ игрока 1 (среди всех стратегий, как чистых, так и смешанных), есть р = 1 (т.е. Орел), если q < ½,

но р = 0 (т.е. Решка), если q > 1/2, Этим значениям р соответствуют два горизонтальных отрезка на рис. 29.

рис. 29.

Так как при q = 1/2 ожидаемый выигрыш игрока 1 не зависит от его стратегии, мы получаем, что игроку 1 безразлично, выбрать ли одну из своих чистых стратегий, или же выбрать какую-нибудь смешанную стратегию (р, 1  р) . Это означает, что если q = 1/2 , то смешанная стратегия (р, 1  р) является лучшим ответом на смешанную стратегию (q, 1  q) при любом значении р от 0 до 1 . Поэтому p*(1/2) представляет собой вертикальный отрезок, изображенный на рис.29. Таким образом, ломаная линия на рис. 29 представляет собой многозначное отображение (поскольку при q = 1/2 мы имеем целый отрезок) лучших ответов (в зависимости от q).

рис. 30.

Похожими рассуждениями и в силу симметрии матрицы выигрышей игрока 2 получаем аналогичное отображение лучших ответов игрока 2 . На рис. 30 это ломаная q*(р). Рис. 30 показывает, что равновесие по Нэшу в игре "Орел или Решка" возникает, если игрок 1 разыгрывает смешанную стратегию (1/2, 1/2) и игрок 2 разыгрывает такую же стратегию, что, по-видимому, было естественно ожидать в силу симметричности игры. Важно заметить, что этот пример иллюстрирует, что неслучайно, если один из игроков выбирает свои стратегии равновероятно (т. е. придерживается своей равновесной стратегии), то второму игроку при этом абсолютно безразлично как играть. Это следует из свойства, доказанного ранее (см. п.1.7) в общем случае:

(1)

которые входят в равновесную ситуацию с ненулевыми вероятностями. Для тех же s'_i, которые входят в равновесную ситуацию с нулевой вероятностью верны неравенства:

(2)

Формулы (1), (2) дают действенный способ определения равновесных ситуаций в произвольных биматричных играх 2x2.

Ожидаемый выигрыш игрока 1 от разыгрывания ₁ = (р, 1  р), когда игрок 2 разыгрывает ₂ = (q, 1  q):

Введем обозначения: С = а₁₁  а₁₂  a₂₁ + a₂₂,  = a₂₂  a₁₂. Лучший ответ игрока 1 на произвольную стратегию ₂ игрока 2 можно получить из условий неотрицательности:

С учетом введенных обозначений они выглядят следующим образом:

(3)

Аналогично можно поступить для нахождения лучшего ответа игрока 2 . Ожидаемый выигрыш игрока 2 от игры ₂ = (q, 1  q), когда игрок 1 играет ₁ = (р, 1  р) :

Из условий (неотрицательности)

обозначив D = b₁₁  b ₁₂  b ₂₁ + b₂₂,  = b₂₂  b₂₁ , получаем аналогичные неравенства для нахождения лучшего ответа игрока 2 на произвольную стратегию а = (р, 1  р) игрока 1:

(4)

Тогда, для того чтобы пара ₁ = (р, 1  р), ₂ = (q, 1  q) определяла равновесную ситуацию необходимо и достаточно одновременное выполнение систем неравенств (3), (4), а также 0  р  1, 0  q  1 .

Рассмотрим лучшие ответы каждого игрока, которые, разумеется, зависят от того, как устроены матрицы выигрышей игрока 1 и игрока 2 . Начнем с неравенств (3).

Возможны три случая:

1) р=1, Cq  ;

2) 0 <р< 1, Cq = ; (5)

3)р = 0, Сq  .

В свою очередь, в зависимости от соотношений между С и , возможны следующие случаи и соответствующие лучшие ответы игрока 1 в каждом из них.

I. Если С > 0,  > 0 , то лучшие ответы изображены на рис. 31-33:

рис. 31.

рис. 32.

/С < 1

рис. 33.

II. Если С < 0, а < 0, то лучшие ответы изображены на рис. 34-36:

/С > 1

рис. 34.

/С = 1

рис. 35.

/С < 1

рис. 36.

III. При С > 0,  < 0 лучший ответ игрока 1 изображен на рис. 37, если наоборот С < 0,  > 0, то этому случаю соответствует рис. 38:

рис. 37.

рис. 38.

IV. Если C0,  = 0, то лучшие ответы игрока 1 , имеющие вид зигзагов, проходят по смежным сторонам квадрата — рис. 39 и 40.

рис. 39.

рис. 40.

V. Если C = 0,   0, то в этом случае зигзаги вырождаются в прямые на рис. 41 и 42. При решении неравенств (3) возможен либо случай 3) , когда  > 0 , либо случай 1), когда  < 0 .

рис. 41.

рис. 42.

VI. Наконец, если (7 = 0, а = О, то любая точка квадрата является решением системы — рис. 43.

рис. 43.

Анализируя рисунки 31-42, можно отметить, что качественно различных реше­ний могут быть три вида: горизонтальный отрезок вдоль одной из сторон квадрата, любые две смежные стороны квадрата, "возрастающий" (рис. 33) и "убывающий" (рис. 36) зигзаги.

При решении неравенств (4) также возможны три случая:

1) g = l, Dp>(3;

2) 0< g < 0, Dp = /3-

3) g = 0, DP<(3.

Аналогично, лучшие ответы игрока 2 в зависимости от соотношений между D и (3 выглядят следующим образом:

I. Для D > О, (3 > О , лучшие ответы игрока 2 изображены на рис. 44-46:

рис. 44.

рис. 45.

II. Если D < 0,  < 0, наилучшие ответы 2 игрока на рис. 47-49:

рис. 46.

рис. 47.

рис. 48.

рис. 49.

III. Если D > 0, (3 < 0, то см. рис. 50; если D < 0, (3 > 0 — то рис. 51.

рис. 50.

рис. 51.

IV. Если D ф 0, (3 = 0 , то лучшие ответы игрока 2 проходят по смежным сторонам квадрата — рис. 52 и 53:

рис. 52.

рис. 53.

V. При D = О, (3 ф О зигзаги вырождаются в прямые на рис. 24,25 . При решении неравенств (4) возможен случай 3) когда (3 > О , либо 1), когда (3 < О .

рис. 54.

рис. 55.

VI. Если D = О, (3 = 0, то мы получаем любую точку квадрата — рис. 56.

Исключая тривиальный VI случай, убеждаемся, что и для игрока 2 возможны три различных вида лучших ответов: вертикальный отрезок вдоль одной из сторон квадрата, любые две смежные стороны квадрата, "возрастающий" (рис.46) и "убывающий" (рис. 49) зигзаги.

рис. 56.

Равновесным ситуациям графически соответствуют точки пересечений множеств лучших ответов игроков. Совмещая графики лучших ответов игрока 1 (рис. 31-43) с любым графиком наилучших ответов игрока 2 (рис. 34-56), мы получаем всевозможные варианты множеств равновесных ситуаций биматричной игры 2x2.

Рассмотрим геометрический смысл условий (3) и (4) на примере описанной выше игры "Дилемма Заключенного". Напомним, что ситуация, сложившаяся в этой игре, задается матрицей

Имеем С = -1 - (-10) - 0 + (-6) = 3,  = -6 - (-10) =4, D = -1 - 0 -(-10) + (-6) = 3, (3 = -6 = (-10) = 4

Тогда условия (3), (4) выглядят следующим образом:

Отсюда получаем, что при р = 1, q  4/3, при 0 < р < 1, q = 4/3, при р = 0, q  4/3 ; при q = 1, р  4/3, при 0 < q < 1, р = 4/3, при q = 0, p  4/3< | Полученные лучшие ответы изображены на рис. 57.

рис. 57.

Как видно из сказанного выше, такой рисунок можно получить совмещением рис. 31 и рис. 44, где пунктиром отмечены участки зигзагов, не принадлежащих единичному квадрату. Из рисунка видно, что существует единственная ситуация равновесия р = 0, q = 0. Это ситуация, в которой каждый из игроков выбирает вторую чистую стратегию — Сознаться.

Из анализа всевозможных ситуаций видно, что биматричная игра всегда имеет, по меньшей мере, одну точку равновесия по Нэшу, что является наглядной иллюстрацией теоремы Нэша о существовании равновесия.

Отметим при этом несколько качественных особенностей, существующих равновесий.

1) Единственное равновесие по Нэшу в чистых стратегиях — например, рис. 37 и рис.44 дают равновесную точку р = 1, q = 0. "Дилемма Заключенного" относится к такому случаю (здесь р = 1 , q = 1).

рис. 58.

2) Единственное равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях, например, рис. 36 и рис. 46 когда накладывается "убывающий" зигзаг на "возрастающий" зигзаг. Игра "Орел" или "Решка" является примером такого случая.

3) Три равновесия по Нэшу — два в чистых стратегиях и одно — в смешанных. Такая ситуация образуется, когда накладываются два "возрастающих" или два "убывающих зигзага", например, рис. 33 и рис. 46. Такого типа ситуация возникает в игре "Семейный спор" (см. рис.59).

рис. 59.

4) Два равновесия по Нэшу в чистых стратегиях. Его можно получить, например, наложением рис. 9 и рис. 22 . Такая ситуация возникает, в частности, когда в матрице А выигрышей игрока 1 a12 = а22 , а в матрице В выигрышей игрока 2 bl2 = b22. См. рис. 60.

рис. 60.

5) Континуум равновесий по Нэшу в (смешанных стратегиях). Примеров такого рода равновесий можно предложить очень много. Скажем, совмещение рис. 36 и рис.53 дает множество равновесных точек, где р = 0, q[0, 1] и Р = 1, q = 0 и т.п. См. рис. 61.

рис. 61.

Замечание 1.14.1. Следует отметить интересное свойство, присущее некоторым типам равновесий. А именно, в случаях 1), 2), 3), когда равновесных ситуаций в игре нечетное число, при достаточно малых изменениях элементов матриц выигрышей зигзаги также слегка "пошевелятся", но их общая форма и характер их взаимного расположения не изменятся, а значит, не изменится и число равновесных ситуаций.

Этого нельзя сказать о случаях четного и бесконечного числа равновесных ситуаций. В этих случаях малейшее изменение элементов матриц выигрышей может приводить к совершенно иным качественным ситуациям. Например, ситуация изображенная на рис. 60 может перейти в ситуацию либо с одним чистым равновесием, если  = 0,  < 0 (b22 < b21), (см. рис. 62), либо в ситуацию с тремя равновесиями, если  > 0,  > О (a22 < a21) (см. рис.63), либо в ситуацию с континуумом равновесий, если  > 0,  = 0 (см. рис. 64)

рис. 62.

рис. 63.

рис. 64.

Замечание 1.14.2. Рассмотрим наиболее интересный случай, когда С и D не равны нулю. Тогда равновесная ситуация определяется двумя формулами р = /D, q = /C из которых следует, что в равновесной ситуации выбор игрока 1 определяется элементами матрицы выигрышей игрока 2 и не зависит от элементов собственной матрицы, а выбор игрока 2 в равновесной ситуации полностью определяется элементами матрицы игрока 1 и не зависит от элементов собственной матрицы. Иными словами, равновесная стратегия обоих игроков определяется не столько стремлением увеличить собственный выигрыш, сколько держать под контролем выигрыш другого игрока (минимизировать его). Таким образом, в бима-тричной игре мы сталкиваемся не с антагонизмом интересов, а с антагонизмом поведения.