1.3 Доминируемые стратегии

Посмотрим внимательно на приведенную выше игру (рис.7). Независимо от того, как играет игрок 1, R дает игроку 2 строго больший выигрыш нежели М. В этом смысле стратегия М строго доминируема, поэтому ясно, что рациональный игрок 2 не должен играть М . Далее, если игрок 1 знает (т.к. он сам рационален и знает, что другой рационален...), что 2 не будет играть М , то для него и будет лучше, чем га или d. Наконец, если игрок 2 знает, что игрок 1 знает, что игрок 2 не будет играть М, то игрок 2 знает, что 1 будет играть и , а тогда 2 должен играть L . Этот процесс — последовательное удаление строго доминируемых стратегий (мы дадим позднее строгое определение и соответствующий экономический пример). Вопрос, естественно возникающий здесь: "А не зависит ли множество стратегий, выдержи­вающих такое исключение доминируемых стратегий, от порядка исключения?" К счастью, нет, и дело здесь в том, что если стратегия s_i строго хуже чем s' для всех стратегий оппонента из множества D , то она хуже чем s' и для любого подмножества множества D .

Посмотрим теперь на следующую игру (см. рис. 8)

Рис. 8.

Здесь М не доминируется строго стратегией u, и М не доминируется строго стратегией D . Однако, если игрок 1 играет u с вероятностью 1/2 и D — с вероятностью 1/2, он обеспечивает себе выигрыш 1/2 независимо от того, как играет игрок 2. Следовательно, чистая стратегия может строго доминироваться смешанной стратегией, даже если она не доминируется строго никакой чистой стратегией.

Введем следующие обозначения: пусть iI, тогда через s_-i  S_-i будем обозначать набор стратегий игроков из I\{i}, (s'_i, s_-i) обозначает набор стратегий (s₁, …, s_i-1, s'_i, s_i+1, …, s_n). Аналогично, для смешанных стратегий ('_i, _-i) — это (₁, …, _i-1, '_i, _i+1, …, _n). (Заметим, что в этих обозначениях s = (s_i, s_-i)).

Определение 1.3.1 Чистая стратегия S_i игрока i в игре Г строго доминируема (строго доминируется), если существует другая чистая стратегия s'_i такая, что

(3.1)

для всех s_-i  S_-i.

В этом случае говорят, что стратегия s'_i доминирует стратегию s_i. Стратегия s_i. слабо доминируется, если существует такая s'_i , что (3.1) выполняется как нестрогое неравенство, но хотя бы для одного набора s_-i  неравенство строгое.

Аналогично определение и для смешанных стратегий:

Определение 1.3.2. Смешанная стратегия _i строго доминируется в игре _; если существует другая стратегия '_i такая, что для всех _-i_-i выполняется

Стратегия _i называется строго доминирующей стратегией для игрока i в игре , если она строго доминирует любую другую стратегию из _i.

Заметим, что для того, чтобы проверить, что _i строго доминируется стратегией '_i, нам нужно посмотреть на "поведение" этих двух стратегий против чистых стратегий оппонентов игрока i.

Формально:

тогда и только тогда, когда

Действительно: рассмотрим разность

Тогда если (В), то (А), т.к. все [u_i('_i, s_-i) — u_i(_i, s_-i)] > 0. (В) следует из (А), т.к. s_-i — вырожденный случай _-i.

Задача. Докажите, что если чистая стратегия s_i является строго доминируемой, то таковой же является и любая стратегия, использующая s_i с положительной вероятностью.

Однако смешанная стратегия может быть строго доминируемой даже, если она использует с положительной вероятностью чистые стратегии, которые даже не слабо доминируемы. Действительно, рассмотрим следующую игру (рис.9).

Рис. 9.

Стратегия первого игрока (1/2, 1/2,0) дает ожидаемый выигрыш вне зависимости от того, что играет игрок 2, а следовательно, строго доминируется стратегией D.

Естественно, что строго доминируемые стратегии надо удалять. Если игра разрешима в смысле последовательного удаления строго доминируемых стратегий, т. е. каждый игрок остается с единственной стратегией, как в нашем первом примере, то, получившаяся ситуация будет хорошим кандидатом для предсказания того, как будет проходить игра.

Вернемся к игре, изображенной на рис. 7. Нетрудно убедиться в том, что здесь в результате последовательного удаления строго доминируемых стратегий остается пара стратегий (u, L). На первом шаге удаляется стратегия М (она доминируется стратегией R). Затем удаляется стратегия m (доминируемая стратегией u).На третьем шаге удаляется стратегия d (доминируется стратегией u). Наконец, на последнем шаге удаляется R.

Но, даже если такие ситуации представляют собой хорошие кандидатуры, все не обязательно произойдет в соответствии с их "предписанием", особенно если выигрыши могут принимать "экстремальные" значения.

Рассмотрим, например, следующую игру (рис. 10).

Рис. 10.

Очевидно, что здесь стратегия L доминируется стратегией R, а потому ситуация (D,R) является хорошим кандидатом. Но ... Проигрыш игрока 1 в ситуации (_D, L) слишком велик, поэтому вполне можно допустить, что игрок 1 может не рискнуть сыграть стратегию d (допуская, например, возможность случайной ошибки игрока 2).

Все, конечно, изменится, если игроки могут договориться до того, как принять решение. В этом случае, конечно, все уже будет зависеть от "силы" договоренности.