1.8. Уравнения токов

Повторим еще раз уравнения (1.14):

Согласно методу симметричных составляющих

;

,

где w_эА = w_Аk_об.А w_эВ = w_Вk_об.В – эффективные числа витков фаз А и В.

Разделив левую и правую части последних выражений на w_эB, получим (1.23)

где k = w_эВ/w_эА– уже известный коэффициент трансформации двигателя. Подставляя (1.23) в выражение _B и решая систему двух уравнений относительно I_A1, I_A2 , получим

(1.24)

Рассчитав I_A1 и I_A2 , легко определить I_B1 и I_B2 , а затем найти полные токи фаз А и В.

1.9. Электромагнитная мощность. Вращающий момент несимметричного двухфазного микродвигателя

Поскольку в рассматриваемых микродвигателях имеют место поля токов прямой и обратной последовательностей, электромагнитная мощность – мощность, передаваемая от статора к ротору магнитным полем, должна быть равна сумме мощностей этих последовательностей.

Как известно, при круговом поле электромагнитная мощность равна потерям в активном сопротивлении ротора, деленным на скольжение s для прямого и на 2s для обратного полей

P_эм1 = P_эм1А + P_эм1В = I ²_рA1·r_рA/s + I ²_pВ1·r_pВ/s , (1.25)

P_эм2 = P_эм2А + P_эм2В = I ²_рA2·r_рA/(2-s) + I ²_pВ2·r_pВ/(2-s) (1.26)

Если выразить токи и сопротивления фазы В через токи и сопротивления фазы А I_B1 = I_A1/k; I_B2 = I_A2/k ; r_pB = k²r_pA, подставить в (1.25), (1.26), то после преобразований получим

P_эм = P_эм1 + P_эм2 = 2[I ²_рA1·r_рA/s + I ²_pA2·r_pA/(2-s)]. (1.27)

Выражение (1.27) неудобно для практических расчетов тем, что в него входят токи ротора. Это обстоятельство можно обойти, если воспользоваться схемами замещения рис.1.7.

Действительно, в параллельном соединении: “контур намагничивания – цепь ротора” (рис.1.7), существует только одно активное сопротивление r_рA. В преобразованных схемах замещения рис.1.8 в состав Z_рA1, Z_рA2 тоже входит активное сопротивление r_рA1, r_рA2. Поэтому в соответствии с законом сохранения энергии потери мощности в этих сопротивлениях должны быть одинаковыми, т.е.

I ²_рA1·r_рA/s = I ²_A1·r_pA1 I ²_рA2·r_рA/(2-s) = I ²_A2·r_pA2.

С учетом этого выражение электромагнитной мощности приобретает простой вид

P_эм = 2(I ²_A1·r_рA1 + I ²_А2·r_pА2). (1.28)

Если разделить электромагнитную мощность на синхронную угловую частоту вращения, получим выражение вращающего момента

М = Р_эм/ω₁ = Р_эм1/ω₁ – Р_эм2/ω₁. (1.29)

При этом перед электромагнитной мощностью обратной последовательности следует поставить знак "минус", ибо обратное поле создает не движущий, а тормозной момент. На рис. 1.10 представлена механическая характеристика асинхронного двигателя при эллиптическом поле, как результат действия прямого и обратного полей, создающих вращающий М₁ и тормозной М₂ моменты.

Из рис. 1.10 видно негативное действие обратного поля:

1) снижение максимального и пускового моментов,

2) увеличение номинального скольжения и, как следствие, увеличение потерь в роторе, снижение КПД машины.

Рис.1.10. Механическая характеристика двухфазного асинхронного двигателя

с эллиптическим магнитным полем

1.10. Энергетическая диаграмма. Потери мощности

Энергетическая диаграмма несимметричного двухфазного микродвигателя показана на рис. 1.11, на которой обозначено:

р_к – потери в конденсаторе, p_k = I²_сB r_к ; p_ст– потери в стали. Активное сопротивление конденсатора r_к обычно очень мало, так что потерями в нем можно пренебречь.

Рис.1.12. Энергетическая диаграмма несимметричного двухфазного асинхронного микродвигателя

При эллиптическом поле они равны сумме потерь встали от прямого p_ст1 и обратного p_ст2 полей [1]: р_ст = р_ст1 + р_ст2.

Потерями в стали ротора при скольженьях, близких к номинальному, можно пренебречь, поскольку частота перемагничивания ротора весьма небольшая ( f₂ = f₁·s ).

Потери в стали статора от поля прямой последовательности рассчитывают обычным порядком [4]. Они пропорциональны квадрату индукции и частоте в степени 1,3:

p_ст1~ B² f ^1.3 . (1.30)

Потери в стали статора от поля обратной последовательности

р_ст2 = p_ст1 (E_А2 /E_А1)², (1.31)

где E_А1, E_А2 – ЭДС в обмотке А от поля прямой и обратной последовательностей.

Потери в обмотках А и В статора

р_эс = p_эсА + p_эсВ = I ²_сA r_сA + I ²_сB r_сB . (1.32)

В формуле (1.32) должны присутствовать токи статора, полученные с учетом потерь в стали. Для покрытия потерь в стали двигатель потребляет из сети дополнительный ток, что приводит к увеличению активных составляющих токов статора. Эти увеличения можно рассчитать по следующим формулам:

I_стА1 = p_ст1 /(2E_А1 ); I_стА2 = p_ст2 /(2E_А2 ); (1.33)

I_стВ1 = I_стА1 /k ; I_стВ2 = I_стА2 /k . (1.34)

Прибавляя "добавки" к активным составляющим токов, рассчитанным без учета потерь в стали, получим полные токи фаз статора:

(1.35)

Здесь индексы 1 и 2 означают прямую и обратную последовательности.

Потери в обмотке ротора можно определить через электромагнитную мощность (1.28) и скольжение ротора

р_эр = p_эр1 + p_эр2 = 2[I ²_A1r_рA1s + I ²_A2r_pA2(2 - s)]. (1.36)

Из энергетической диаграммы видно, что электрические потери в обмотке ротора от токов обратной последовательности р_эр2 больше электромагнитной мощности обратной последовательности Р_эм2, чего казалось бы не должно быть. Этот парадокс объясняется следующим образом.

По отношению к полю обратной последовательности машина работает в режиме электромагнитного тормоза, поэтому вся энергия (Р_эм2) превращается в тепло, т.е. в потери в обмотке ротора. Но для вращения ротора против поля требуется еще и механическая энергия, источником которой является электромагнитная мощность прямой последовательности Р_эм1. Часть этой мощности (Δp_эр2) также превращается в тепло. Эта часть равна

Δр_эр2 = p_эр2 - p_эм2 = 2I ²_A2 r_рA2(2-s) - 2I ²_А2 r_рА2=2 I ²_А2 r_рА2 (1-s) .

Механическая мощность, развиваемая несимметричным двухфазным микродвигателем равна:

Р_мех = Р_эм1 - p_эр1 - Δp_эр2 = 2I ²_A1 r_рA1 - 2I ²_А1 r_рА1 -2 I ²_А2 r_рА2 (1-s) =

=(2I ²_A1 r_рA1 - 2I ²_А2 r_рА2) (1-s).

Механические потери p_мех – потери на трение и вентиляцию, определяют по эмпирическим формулам [4], суть которых заключается в том, что эти потери пропорциональны квадрату скорости вращения р_мех ~ n² .

Полезная мощность на валу микродвигателя

Р₂ = Р_мех - р_мех (1.37)

Потребляемая электрическая мощность

P₁ = P_ЭМ + p_эс + p_ст + p_к, (1.38)

где p_к – активные потери в конденсаторе, p_к = 2I ²_A1 r_С , поскольку активное сопротивление конденсатора r_С очень мало, то потерями в конденсаторе можно пренебречь.

КПД микродвигателя

η = P₂ /P₁. (1.39)

Коэффициенты мощности

cosφ_A = I_cAa /I_cA; cosφ_B = I_cBa /I_cB. (1.43)

Ни в энергетической диаграмме, ни в расчетах не упоминались добавочные потери. Согласно ГОСТ 183-74 они составляют 0,5 % от потребляемой мощности, что практически выходит за пределы точности расчетов микромашин.