Рекомендації до виконання самостійної роботи Завдання 1

Результати, отримані в експерименті по заучуванню ряду з x_max чисел для 100 випробовуваних надано в таблицях (дані умовні). Вибравши дані відповідно до свого варіанту для ознаки Х виконати наступне:

1. Перетворіть дані в статистичний ряд (за збільшенням);

2. Побудувати статистичний розподіл вибірки (варіаційний ряд), обчислити відносні частоти;

3. Побудувати полігон частот. По вигляду полігону частот висунути гіпотезу про закон розподілу;

4. Знайти емпіричну функцію розподілу і побудувати її графік.

5. Знайти числові характеристики міри розсіяння: варіаційний розмах; вибіркову середню, дисперсію, середнє квадратичне відхилення (помилку); стандартне відхилення, знайти коефіцієнт варіації;

6. Знайти моду, медіану; привести психологічну інтерпретацію отриманих результатів;

7. Відзначити на полігоні частот значення вибіркової середньої, моди, медіани; вказати який вигляд асиметрії при цьому отримано; зробити висновок;

8. Побудувати довірчий інтервал з надійністю для оцінки математичного сподівання при відомому (прийняти розподіл вважати нормальним);

9. Знайти виравнюючі частоти в припущенні нормальності розподілу; побудувати нормальну (теоретичну) криву на тому ж малюнку, де був побудований полігон частот;

10. За допомогою критерію Пірсона (² – критерію) перевірити гіпотезу про нормальність розподілу;

4	7	10	4	7	10	4	7	10	7	10	7
7	10	7	13	10	7	10	13	10	7	7	10
10	10	10	13	10	13	10	7	7	10	13	10
16	13	10	7	13	10	16	16	7	10	16	19
7	13	10	19	10	10	10	10	16	10	10	7
7	7	10	7	10	13	10	13	13	10	13	13
13	7	7	10	13	13	10	10	7	16	10	16
10	10	13	10	10	10	10	10	7	10	10	7
13	10	10	16

Розв'язання.

1. Перетворимо дані в статистичний ряд (за збільшенням)

4	4	4	7	7	7	7	7	7	7
7	7	7	7	7	7	7	7	7	7
7	7	7	7	7	7	7	10	10	10
10	10	10	10	10	10	10	10	10	10
10	10	10	10	10	10	10	10	10	10
10	10	10	10	10	10	10	10	10	10
10	10	10	10	10	10	10	10	10	10
10	10	13	13	13	13	13	13	13	13
13	13	13	13	13	13	13	13	13	13
16	16	16	16	16	16	16	16	19	19

2. Побудуємо статистичний розподіл вибірки.

Статистичним розподілом вибірки називають перелік варіант х_і і відповідних їм частот n_i (сума всіх частот дорівнює обсягу вибірки n) або відносних частот w_i (сума всіх відносних частот дорівнює одиниці).

Побудуємо статистичний розподіл вибірки. Для зручності у подальших розрахунках у таблицю добавимо строки як з частотами, так і з відносними частотами.

xi	4	7	10	13	16	19
ni	3	24	45	18	8	2
wi	0,03	0,24	0,45	0,18	0,08	0,02

Обсяг вибірки дорівнює:

n=3+24+45+18+8+2=100.

Відносні частоти розраховуються за формулою .

При цьому виконується: 0,03+0,24+0,45+0,18+0,08+0,02=1.

3-4. Побудуємо полігон частот.

Полігоном частот називається ломана, відрізки якої з'єднують точки з координатами (x₁, n₁),...,( x_m, n_m).

n_i

x_i

За виглядом полігону частот висуваємо гіпотезу про нормальний закон розподілу.

4. Знайдемо емпіричну функцію розподілу і побудуємо її графік.

Емпіричною функцією розподілу називають функцію , яка визначає для кожного значення х відносну частоту події Х<х, тобто де – число варіант, менших х, п – обсяг вибірки.

Найменша варіанта дорівнює 4, отже

F^*(x)=0 при .

Значення Х<7, а саме х₁=4, спостерігалося 3 рази, отже

F^*(x)=3/100=0,03 при .

Значення Х<10, а саме х₁=4 та х₂=7, спостерігалося 3+24=27 разів, отже

F^*(x)=27/100=0,27 при .

Продовжуючи аналогічно, отримаємо функцію розподілу:

Зауваження. Зверніть увагу на те, що у разі правильних розрахунків значення функції розподілу при х більше найбільшої варіанти (в нашому випадку x>19) дорівнює одиниці

Графік функції розподілу має вигляд:

x_i

F^*(x)

5. Знайти числові характеристики міри розсіяння: варіаційний розмах; вибіркову середню, дисперсію, середнє квадратичне відхилення (помилки); знайти коефіцієнт варіації.

Розмах варіації R=x_max-x_min

R = 19 – 4 = 15

Вибіркову середню, дисперсію, середнє квадратичне відхилення знайдемо за методом добутків.

Якщо варіанти вибірки є рівновіддаленими з кроком h, то вибіркове середнє й дисперсію можна знаходити за формулами:

(1)

_, (2)

де С – умовний нуль (варіанта, що розташована приблизно в середині варіаційного ряду. Їй, як правило, відповідає найбільша частота);

– момент першого порядку розраховується так:

(3)

– момент другого порядку розраховується за формулою

; (4)

u_i – умовні варіанти: .

Середнє квадратичне відхилення

(5)

Стандартне відхилення (незміщена оцінка середньоквадратичного відхилення):

(6)

При практичному використанні методу добутків доцільно користуватися розрахунковою таблицею (табл. 3.1), що складається так:

1) у перший стовпчик таблиці записують вибіркові (початкові) варіанти, розташовуючи їх у зростаючому порядку;

2) у другий стовпчик записують частоти варіант; складають усі частоти і їхню суму (обсяг вибірки п) поміщають у нижню клітину стовпчика;

3) у третій стовпчик записують умовні варіанти , причому вважають h рівним різниці між будь-якими двома сусідніми варіантами. В нашому випадку h=3. В якості умовного нуля обираємо С=10. Зверніть увагу на те, що u_i відрізняється від попередніх на одиницю;

4) перемножують частоти на умовні варіанти і записують їхні добутки в четвертий стовпчик; суму поміщають у нижню клітину стовпчика;

5) перемножують частоти на квадрати умовних варіант і записують їхні добутки в п'ятий стовпчик; склавши отримані числа, їхню суму поміщають у нижню клітину стовпчика;

Таблиця 1

1	2	3	4	5
xi	ni	ui	niui	niui2
4	3	-2	-6	12
7	24	-1	-24	24
10	45	0	0	0
13	18	1	18	18
16	8	2	16	32
19	2	3	6	18
Σ	n=100		10	104

Маємо:

обсяг вибірки п=100;

крок h=3;

умовний нуль С=10;

; .

Обчислюють моменти та за формулами (3) та (4) відповідно:

, .

Вибіркове середнє і дисперсія обчислюються за формулами (1) та (2):

_.

Середнє квадратичне за формулою (5):

Стандартне відхилення за формулою (6):

Коефіцієнт варіації

5. Знайдемо моду, медіану; приведемо психологічну інтерпретацію отриманих результатів.

Мода відповідає варіанті з найбільшою частотою:

Мо=10

Таким чином, середня кількість завчених чисел дорівнює приблизно 10.

Медіаной (Mе) називається таке значення варіаційної ознаки, яка припадає на середину варіаційного ряду. При обчисленні медіани дискретного варіаційного ряду можуть виникнути два випадки:

1) число варіант непарне (n=2m+1),

2) число варіант парне (n =2m).

В першому випадку Me=x_m+1, тобто медіана дорівнює центральній (серединній) варіанті ряду, це варіанта з номером m=(n-1)/2;

в другому випадку Me=(x_m+x_m+1)/2, тобто медіана дорівнює полусумі, що знаходиться в середині ряду варіант, где n=k/2.

Вважаючи на те, що n=100

m=100/2=50

Таблиця 2

i	xi	ni	Накопичені частоти
1	4	3	3
2	7	24	27
3	10	45	72
4	13	18	90
5	16	8	98

Перший інтервал, що перевищує 50 – третій, тобто х₅₀= х₅₁=10.

Me=(10+10)/2=10.

Значення медіани має наступну інтерпретацію: трохи більше половина випробовуваних запам'ятала менше або рівно 10 слів, а друга половина – більш ніж 10 слів.

5. Відзначити на полігоні частот значення вибіркової середньої, моди, медіани; вказати який вигляд асиметрії при цьому отримано; зробити висновок;

Мо, Ме

Якщо графік розподілу має правосторонню асиметрію ("хвіст" вправо), то в цьому випадку мода розміщена лівіше, а середнє арифметичне – правіше за медіану (див. малюнок).

Дійсно, лівіше й правіше за медіану розміщені однакові площі, але лівій частині відповідає менша основа, а правій – більша основа. Тому ліва частина кривої вище правої, і мода знаходитиметься лівіше за медіану. З цієї самої причини медіана не може служити точкою рівноваги, оскільки площа частини, відповідної більшої основи, більше площі, розміщеної на меншій основі. Отже, середнє арифметичне знаходиться правішим за медіану.

Таким чином, при правосторонній асиметрії лівіше розташована мода, далі медіана і правіше – середнє арифметичне. Зворотне розташування має місце при лівосторонній асиметрії графіка. При цьому, чим більше асиметричний графік, тим більше відстань між його середніми точками.

В цьому випадку мода розміщена лівіше, а середнє арифметичне – правіше за медіану, тобто графік розподілу має правосторонню асиметрію. Натомість, різниця між середнім арифметичним, модою та медіаною незначна, тобто розподіл наближений до нормального.

5. Побудуємо довірчий інтервал з надійністю для оцінки математичного чекання при відомому (прийняти розподіл вважати нормальним).

Довірчий інтервал для оцінки невідомого математичного сподівання нормального розподілу при відомому можна знайти за допомогою співвідношення

, (2.7)

де точність оцінки ,

число t визначається з рівності за таблицею функції Лапласа (таблиця 1 Додатка).

.

З попереднього пункту

, n=100.

Знайдемо число t з відношення

. За таблицею функції Лапласа t=1,96.

Точність оцінки

Отримаємо довірчий інтервал (за формулою (3.7)):

, тобто

6. Знайдемо вирівнюючи частоти, припускаючи, що розподіл є нормальним.

Вирівнюючи (теоретичні) частоти розраховують за формулою:

(8)

Розрахуємо теоретичні частоти (див. наступну таблицю). Для цього визначаємо нормовані відхилення (графа 3) за формулами

(9)

по додатку встановлюємо значення функції (графа 4), розраховуємо теоретичні частоти за формулою (8) (графа 5):

Таблиця 3

1	2	3	4	5
i	xi	ti
1	4	-2,06	0,0478	4,7
2	7	-1,08	0,2227	21,8
3	10	-0,10	0,397	38,9
4	13	0,88	0,2709	26,6
5	16	1,86	0,0707	6,9
6	19	2,84	0,0071	0,7
Σ				99,6

7. Побудуємо на полігоні частот нормальну (теоретичну) криву.

x_i

n_i, n_i'

8. Перевіримо при рівні значимості гіпотезу щодо нормального розподілу генеральної сукупності за критерієм Пірсона.

а) Складемо розрахункову таблицю (4) з якої знайдемо спостережуване (рус. "наблюдаемое")

. (10)

Таблиця 4

1	2	3	4	5	6
i
1	3	4,7	-1,7	2,8	0,6
2	24	21,8	2,2	4,7	0,2
3	45	38,9	6,1	36,9	0,9
4	18	26,6	-8,6	73,3	2,8
5	8	6,9	1,1	1,1	0,2
6	2	0,7	1,3	1,7	2,4
Σ	100	99,6	0,4		7,1

З таблиці 4 отримаємо 7,1.

б) За таблицею критичних точок (див. додаток 3), за рівнем значимості й числу ступенів свободи (тут m=6 – кількість варіант) знаходимо критичну точку правосторонньої критичної області (табл. 3 Додатку)

.

Враховуючи, що – гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності приймаємо. Тобто, емпіричні й теоретичні частоти розрізняються не значимо.