1.6.Теорема умножения вероятностей

Различают зависимые и независимые события. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не связанные между собой, то остановки этих линий — независимые события.

События называют зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого. Вероятность одного события (В), вычисленная в предположении осуществления другого события (А), называется условной вероятностью события В. Обозначается Р(В/А) или Р_А(В) и читается: вероятность наступления события В при условии, что А произошло.

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А), (1.5)

или Р(АВ)=Р(А)Р_А(В).

Вероятность произведения нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других. Условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли:

P(A₁ A₂ …A_n-1 A_n)= P (A₁)·P (A₂ / A₁)·…·P(A_n/ A₁ A₂ …A_n-1),

или P(A₁ A₂ …A_n-1 A_n)= .

Пример 1.3. Имеется 10 радиоламп, среди которых 3 неисправные, на вид не отличающиеся от новых. Наугад выбирают друг за другом две лампы. Какова вероятность того, что обе лампы окажутся исправными.

Решение. Пусть событие А₁ состоит в том, что первая лампа окажется исправной. Вероятность .

Событие А₂ – вторая лампа исправная. Вероятность второго события будет зависеть от события А₂.

.

Событие А₁А₂ состоит в том, что обе лампы исправны. Применяем теорему умножения вероятностей зависимых событий (1.5).

.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

или Р(АВ)=Р(А)Р(В). (1.6)

Эта теорема может быть распространена на произвольное число событий, независимых в совокупности.

P(A₁ A₂ …A_n-1 A_n)= P(A₁ )·P(A₂ )·…P(A_n-1 )·P(A_n).

Пример 1.4. Прибор состоит из двух узлов, которые во время работы могут независимо друг от друга выходить из строя. Пусть вероятность безотказной работы первого узла в течение гарантийного срока равна 0,7, а второго 0,9. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока прибор будет работать исправно.

Решение.

Прибор работает исправно, если его два узла работают без сбоев. Пусть событие А₁ состоит в том, то первый узел работает, Р(А₁)=0,7. Событие А₂ – второй узел работает, Р(А₂)=0,9.

Тогда, вероятность того, что оба узла работают, найдем по теореме умножения вероятностей независимых событий (1.6):

Р(А₁ А₂)= Р(А₁) Р(А₂)=0,7·0,9=0,63.

Пусть А – событие, состоящее в том, что появится хотя бы одно событие из событий А₁, А₂,…А_n. Событием, противоположным событию А, будет событие, состоящее в не появлении ни одного из этих событий, то есть событие .

События А и В образуют полную группу. Поэтому

. (1.7)

Пример 1.5. Студент знает 20 вопросов из 40 по первому разделу и 40 из 50 вопросов по второму разделу. На экзамене ему случайным образом предлагается ответить на вопросы из обоих разделов. Найти вероятность того, что студент ответит правильно: 1) на оба вопроса; 2) только на один вопрос; 3) хотя бы на один вопрос.

Решение.

1) Пусть событие А состоит в том, что студент ответит правильно на вопрос из первого раздела. .

Событие В – студент ответит верно на вопрос второго раздела: . Вероятность события В не зависит от того, ответит студент или нет на вопрос из первого раздела. События А и В независимы.

Событие АВ – студент ответит правильно на оба вопроса.

По теореме умножения вероятностей независимых событий (1.6):

Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,5·0,8=0,4.

2) Событие "Студент ответит правильно только на один вопрос" раскладывается на элементарные события: (студент ответит правильно на вопрос из первого раздела и неправильно на вопрос второго раздела или ответит неправильно на вопрос первого раздела и правильно на вопрос второго раздела).

Событие - студент ответит неправильно на вопрос первого раздела. .

Событие - студент ответит неправильно на вопрос второго раздела. .

Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий, получим: .

3) Событие А+В – студент ответит правильно хотя бы на один вопрос.

Вероятность события А+В можно найти тремя способами.

1 способ решения.

Событие А+В возможно разложить на элементарные события: . Тогда:

2 способ решения. Событие А+В противоположно событию - студент не ответит на вопросы обоих разделов. Воспользуемся формулой (1.7):

.

3 способ решения. Так как события А и В совместные и независимые, воспользуемся теоремой сложения вероятностей двух совместных событий (1.4).

Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ) = 0,5 + 0,8 - 0,5·0,8 =0,9.