1.10.2. Закон распределения Пуассона

Биномиальное распределение применяется в том случае, когда число испытаний не слишком велико. На практике нередко встречаются задачи, в которых вероятность отдельного события р мала, а серия испытаний n велика. Например, количество вызовов на телефонную станцию, число отказов в сложном приборе и т.п. В этом случае случайная величина распределена по закону Пуассона.

Закон распределения Пуассона имеет вид:

, (1.30)

где a = np – математическое ожидание.

Пример 1.11. Радиоаппарат состоит из 1000 элементов. Вероятность выхода из строя одного элемента в течение гарантийного срока составляет 0,001 и не зависит от состояния остальных элементов. Найти вероятность выхода из строя двух элементов.

Решение.

Обозначим: Х – случайная величина, распределенная по закону Пуассона (1.30), где k – число выходящих из строя элементов.

Имеем: a = np = 1000·0,001=1.

Вероятность выхода из строя двух элементов радиоаппарата:

1.10.3. Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Если функция плотности вероятности непрерывной случайной величины Х, принимающей значения в интервале от (-∞;+∞), определяется по формуле:

, (1.31)

то говорят, что случайная величина распределена по нормальному закону распределения или закону Гаусса.

Параметрами нормального распределения (1.31) случайной величины Х являются математическое ожидание а и среднеквадратическое отклонение .

Нормальный закон распределения широко используется для описания случайной вариации многих реальных показателей в экономике, статистике, коммерции и т.д. Теоретическое обоснование применимости нормального распределения было дано в 1901 году А.М. Ляпуновым. Он показал, что если случайная величина Х является суммой большого числа независимых случайных величин, то её закон распределения будет близок к нормальному закону распределения. Это утверждение называется центральной предельной теоремой теории вероятностей.

Кривая нормального распределения (рис.3) симметрична относительно прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку х=а и имеет в этой точке единственный максимум, равный . С уменьшением σ кривая становится более вытянутой по отношению к прямой х=а. Изменение а при постоянном σ не меняет формы кривой, а вызывает лишь ее смещение вдоль оси 0х. Площадь, заключенная под кривой нормального распределения, равна единице.

х

Рис.3. Функция плотности вероятности нормального закона распределения

Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от х₁ до х₂:

(1.31)

Значения функции Лапласа приведены в приложении 2.

Пример 1.12. Вес вылавливаемых в реке рыб есть случайная величина, имеющая нормальное распределение со средним значением а = 375 г и стандартным отклонением σ = 25 г. Найти вероятность того, что вес одной выловленной рыбы будет находиться в пределах от 300 грамм до 425 грамм.

Решение.

Найдем вероятность по формуле (1.31):

.

Из таблицы значений функции Лапласа (прил.2) получим:

Φ(2)=0,9545; Φ(-3) = - 0,9973.

Получим:

.