1.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Теорема. Если событие В может наступить только при условии появления одного из событий (гипотез) А₁, А₂,…, А_n, образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события В равна сумме произведений вероятностей каждого из событий А₁, А₂,...,А_n на соответствующую условную вероятность события В:

или

. (1.8)

Эту формула называется формулой полной вероятности.

Если до опыта (или испытания) вероятности гипотез были Р(А₁), Р(А₂),…, Р(А_n), а в результате опыта появилось событие В, то с учетом этого события условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:

. (1.9)

Пример 1.6. Покупатель может приобрести нужный ему товар в двух магазинах. Вероятности обращения в каждый из двух магазинов зависят от их местоположения и соответственно равны 0,1 и 0,9. Вероятность того, что к приходу покупателя нужный ему товар не будет распродан, равна 0,8 для первого магазина и 0,4 - для второго. Какова вероятность того, что покупатель приобретет нужный ему товар? Какова вероятность того, что он купил товар в первом магазине?

Решение.

Пусть событие В – покупатель приобрел товар. Он может это сделать в двух магазинах. Событие А₁ – покупатель обращается в первый магазин, А₂ – во второй магазин. А₁ и А₂ образуют полную группу событий. Р(А₁)=0,1; Р(А₂)=0,9. Р(А₁)+Р(А₂)=1.

Вероятность того, что покупатель приобретет товар при условии, что он обратится в первый магазин: .

Вероятность того, что покупатель приобретет товар при условии, что он обратится во второй магазин:

Для того, чтобы найти вероятность того, что покупатель купил товар, применяем формулу полной вероятности (1.8):

Покупатель приобрел товар с вероятностью 0,44. Для того, чтобы найти вероятность того, что купил его в первом магазине, применяем формулу Байеса (1.9):

1.8. Повторные независимые испытания

Рассмотрим ряд последовательно осуществляемых испытаний, в результате каждого из которых может наступить некоторое событие А, причем вероятность наступления события А в каждом отдельном испытании не зависит от результатов предшествующих и последующих испытаний. Такие испытания называются повторными независимыми.

1.8.1. Формула Бернулли

Для определения вероятности того, что событие А в n повторных независимых испытаниях появится точно k раз, применяется формула Бернулли:

, (1.20)

где n – число испытаний;

k – число наступления события А в n испытаниях;

р – вероятность наступления события А в каждом отдельном испытании;

q = 1-p – вероятность наступления события, противоположному А, в одном испытании.

Произведение N натуральных чисел называется факториалом, 0!=1.

Числом сочетаний n по k называется величина:

.

Тогда формула Бернулли примет вид:

. (1.20.1)

Определение. Число наступлений события А в n повторных независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями других возможных исходов.

. (1.21)

Пример 1.7. 25% большой партии костюмов составляют костюмы 48 размера. Найти наивероятнейшее число костюмов 48 размера среди серии из шести отобранных наугад и вычислить соответствующую этому вероятность. Вычислить вероятность того, что среди костюмов этой серии хотя бы один будет 48 размера.

Решение.

Большая партия означает, что при взятии из этой партии нескольких костюмов 48 размера, вероятность извлечь следующий костюм 48 размера остается равной р=¼. Âероятность противоположного события

Так как отбирается n=6 костюмов, то имеем повторные независимые испытания. Найдем наивероятнейшее число костюмов 48 размера среди шести отобранных по формуле (1.21):

целое число, .

Применим формулу Бернулли (1.20). Вероятность попадания одного костюма 48 размера в серию из 6 костюмов равна:

.

Пусть событие А состоит в том, что среди шести костюмов хотя бы один будет 48 размера, то есть из шести костюмов будет один, или два, или три, или четыре, или пять, или шесть 48 размера, то есть k= 1;2;3;4;5;6.

.

Возможно вычислить вероятности Р₆(k) (k=1,…,6) по формуле Бернулли, а затем применить теорему сложения вероятностей шести несовместных событий. Однако, проще вычислить искомую вероятность по формуле (1.7).

Обозначим событие - костюм не 48 размера, соответствует значению . Учитывая, что , получим

.

Ответ: ; ; .