Тема 3: средние величины и показатели вариации

Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей. Наиболее простой из них – размах вариации, определяемый как разность между наибольшим и наименьшим значениями вариантов: . Чтобы дать обобщающую характеристику распределения отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение , которое учитывает различия всех единиц изучаемой совокупности. Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней без учета знака этих отклонений:

- простое;

- взвешенное.

На практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии (σ² – средний квадрат отклонений), определяемый как средняя из отклонений, возведенных в квадрат: :

— простая;

— взвешенная.

Корень квадратный из дисперсии σ² «среднего квадрата отклонений» представляет собой среднее квадратическое отклонение:

.

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях используются относительные показатели вариации:

• коэффициент осцилляции (V_R): ;

• линейный коэффициент вариации ( ): ;

• коэффициент вариации (V_): .

Наиболее часто в практических расчетах применяется показатель относительной вариации – коэффициент вариации. Совокупность считается однородной , если V_ < 33%.

Задача. Известен тарифный разряд 60 рабочих: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6.

Построить дискретный ряд распределения. Вычислить показатели центра распределения и вариации.

Решение. Найдем частоту f_i каждой варианты x_i:

Тарифный разряд, xi	2	3	4	5	6
Число рабочих, fi	8	16	17	12	7

Найдем средний тарифный разряд рабочих по формуле средней арифметической взвешенной:

Для нахождения остальных величин построим вспомогательную таблицу:

xi	fi	Расчетные показатели
2	8	1,9	15,2	3,61	28,88
3	16	0,9	14,4	0,81	12,96
4	17	0,1	1,7	0,01	0,17
5	12	1,1	13,2	1,21	14,52
6	7	2,1	14,7	4,41	30,87
Итого	60	—	59,2	—	87,04

Среднее линейное отклонение:

Дисперсия: .

Среднее квадратическое отклонение: .

Коэффициент вариации: . Это означает, что совокупность однородная.

Задание № 4 самостоятельно: По данным распределения возраста студентов одного из факультетов вуза

Группы студентов по возрасту x, лет	Число студентов fi
17	10
18	70
19	80
20	100
21	120
22	160
23	90
Итого	630

Определить: размах вариации, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и сделать вывод об однородности совокупности.

Задача. Имеются следующие данные о возрастном составе рабочих цеха (лет): 18; 38; 28; 29; 26; 38; 34; 22; 28; 30; 22; 23; 35; 33; 27; 24; 30; 32; 28; 25; 29; 26; 31; 24; 29; 27; 32; 25; 29; 29.

Для анализа распределения рабочих цеха по возрасту требуется: 1) построить интервальный ряд распределения; 2) дать графическое изображение ряда; 3) исчислить показатели центра распределения, показатели вариации и формы распределения. Сформулировать вывод.

Решение.

1. Величина интервала группировки определяется по формуле:

,

где n принимаем равным 7.