Комплексна форма ряду Фур'є. Поняття негативної частоти.

Ряд Фур'є часто записується в комплексній формі, що пояснюється зручністю аналізу проходження сигналу через РТ ланцюги. Гармонійний сигнал виду можна представити у виді комплексного сигналу відображуваного вектором на комплексній площині, по формулі Эйлера маємо: Отже сигнал можна представити у виді:

комплексна амплітуда.

комплексно сполучена амплітуда.

На комплексній площині осі абсцис відповідає дійсна частина комплексного числа, а осі ординат – мнима. Коливання відображаються вектором ОА₁, а комплексно-спряжена йому вектор ОА₂.

Обидва вектори мають довжину й обертаються з кутовою частотою у взаємно протилежних напрямках. Сумарний вектор , який відображає гармонійне коливання й у будь-який момент часу збігається з віссю дійсних чисел. Отже мнима частина дорівнює 0. Вектор обертається проти вартовий стрілки з позитивною частотою з позитивною частотою . Вектор обертається по годинниковій стрілці з негативною частотою . Негативна частота носить чисто математичний характер відповідному комплексному розкладанню і ні якого фізичного змісту не має.

Ряд Фур'є в комплексній формі виходить шляхом заміни тригонометричних виразів на функції показового виду, розглянуті в комплексній площині. Для такої заміни використовуються такі вирази.

А так само формули Ейлера в прямому виді:

Заміняючи в такий спосіб тригонометричні функції в ряді Фур'є виду:

Одержимо.

За тим як був уведений сполучений ряд легко простежити розглянувши наступні підстановки.

Введемо в розглянутий вираз комплексно сполучені величини.

и.

У такий спосіб ми показали, що

На підставі цього можна записати

Так як є непарною функцією від n виду

,

таким чином . На підставі цього друга сума ряду Фур'є з комплексно-сполученої заміняється на суму зі звичайними коефіцієнтами , однак межі підсумовування змінюються від –1 до + .

Спробуємо довести правильність формули для :

Коефіцієнти зв'язані з коефіцієнтами тригонометричного ряду виразом ,

Загальний вираз комплексного ряду Фур'є можна привести до виду.

Зміст подвоєння коефіцієнтів у тригонометричному ряді стає ясним з розгляду векторної діаграми.

Приклад використання програми Mathcad для побудови спектрального та часового представлення послідовності відеоімпульсів

Часове представлення вхідного сигналу.

У другому розділі необхідно викласти основи теорії фільтрів, розглянути їх частотні характеристики. Використавши вимоги до фільтру свого варіанту визначити необхідний порядок синтезуємого фільтру, з допомогою таблиць розрахувати його операторну передавальну функцію. По одержаній операторній передавальній функції знайти амплітудно-частотну характеристику. Використавши програму Mathcad побудувати графіки амплітудно-частотної характеристики та характеристики згасання, переконатись у виконанні вимог до фільтру, зробити висновки.