Уравнение непрерывности.

Рассмотрим в некоторой среде, в которой течет ток, воображаемую замкнутую поверхность. Выражение дает заряд, выходящий в единицу времени из объема V, ограниченного этой поверхностью. В силу сохранения заряда, эта величина должна быть равна скорости убывания заряда, находящегося в этом объеме . Зная объемную плотность заряда , тогда . По теореме Стокса , тогда, приравнивая правые части уравнений, получим - уравнение непрерывности.

Закон Ома для участка цепи..

В металлах основными носителями заряда являются электроны, поэтому заряд, проходящий через сечение проводника можно представить как , где n – концентрация электронов в проводнике, V – объем проводника. Для стационарного тока среднюю скорость движения зарядов можно считать постоянной, тогда V=<v>tS, сила тока тоже будет постоянной и равной . Тогда плотность тока с учетом формулы (2), равна

(3)

Связь силы тока и напряжения дает экспериментальный закон Ома:

(4),

где U= φ₂ – φ₁ – напряжение на концах проводника, R – сопротивление, определяемое параметрами проводника и его материалом. Произведение IR называется падением напряжения. Применяя закон Ома к различному соединению проводников можно найти закономерности для сопротивления участков различного соединения.

(5),

где l – длина проводника, S – его сечение, ρ – удельное сопротивление материала – сопротивление проводника длиной 1 м и сечением 1 м².

Связывая силу и плотность тока , напряженность в проводнике с напряжением на его концах , получим , тогда закон Ома для участка цепи в дифференциальной форме имеет вид: , где σ – проводимость материала.

Закон Ома для замкнутой цепи.

Электростатические силы совершают работу по переносу заряда из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом до тех пор, пока потенциалы на концах проводника не станут равны и ток не прекратится. Чтобы ток не прекращался в проводнике должны действовать силы, задача которых вернуть заряд в точку с большим потенциалом. Такие силы имеют не электростатическую природу и называются сторонними. Тогда по перенесению заряда совершается работа не только электростатическими, но и сторонними силами

Работа сторонних сил по перемещению заряда называется ЭДС (электродвижущая сила) (6).

З акон Ома для неоднородного участка цепи (участка, содержащего ЭДС) имеет вид , (8)

IR – падение напряжения на участке, ε – ЭДС.

Применив закона Ома для неоднородного участка цепи к различным разветвленным цепям, получим удобные для расчетов правила Кирхгофа.

Е сли цепь замкнута, потенциалы равны φ₁ = φ₂, тогда падение напряжения определяется только работой сторонних сил. В источнике напряжения выделяется тепло и чтобы его учесть, ему приписывают внутреннее сопротивление r. Тогда закон Ома для замкнутой цепи имеет вид

(9)

Магнитостатика.

Существуют экспериментальные предпосылки, обуславливающие необходимость введения понятия магнитно поля:

1. в природе существуют некие силы, вызывающие поворот магнитной стрелки (рис.6);

2. вблизи проводника с током наблюдается поворот магнитной стрелки (рис.7);

3. проводники с током взаимодействуют с силами, зависящими от величины и направления тока в них (рис. 8).

Для объяснения вышеизложенных фактов было введено понятие магнитного поля – особого вида материи, по средствам которого взаимодействуют токи.

Традиционно, для определения любого поля вводится векторная характеристика – напряженность, определяющая силу взаимодействия поля с единичным объектом (единичной массой в случаи гравитационного поля, единичным зарядом в случаи электрического поля). В случаи магнитного поля исторически первым было введено понятие индукции – силы, действующей на проводник с током длиной 1 м с током силы 1 А, расположенный перпендикулярно силовым линиям поля.

Экспериментально полученный закон Ампера позволяет описать поведение проводника с током во внешнем магнитном поле: (10), где I – сила тока в проводнике, l – длина проводника, B – индукция внешнего магнитного поля. Так как сила является результатом векторного произведения, вектор должен быть перпендикулярен плоскости векторов элемента тока и магнитной индукции . Отметим, что в магнитостатике, как и в электродинамике, сила тока является скалярной величиной, поэтому, направление имеет элемент длины контура или элемент тока .

З акон Ампера позволяет судить о величине магнитного поля по факту его действия на проводник с током. Закономерность, позволяющая определять индукцию магнитного поля любого проводника с током, была экспериментально найдена Био и Саварром и теоретически обоснована Лапласом:

(11)

Где - элемент тока, создающий поле индукцией на расстоянии r, ₀ =410^-7 Гн/м – магнитная постоянная,  - магнитная проницаемость среды – величина, показывающая, во сколько раз поле ослабляется веществом. В скалярной форме формула (11) примет вид: (11*). С помощью последнего выражения можно рассчитать индукцию магнитного поля проводника с током любой конфигурации.

Магнитное поле графически изображается с помощью силовых линий. Силовая линия – это кривая, касательной к которой в каждой точке является вектор . Из экспериментов известно, что силовые линии магнитного поля замкнуты (рис.6, 7, 9), а так как разрывом силовых линий всегда являются заряды, можно сказать, что магнитные заряды отсутствуют. Таким образом, если окружить проводник с током замкнутой поверхностью, то каждая силовая линия пересечет ее дважды – один раз на входе, второй раз на выходе и суммарный поток магнитного поля через замкнутую поверхность будет равен нулю (12). Применяя к (12) теорему Остроградского-Гаусса (поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу по объему, ограниченному этой поверхностью, от дивергенции этого вектора), получим (12*)

Расчет индукции магнитного поля существенно облегчает теорема о циркуляции магнитного поля: циркуляция вектора магнитной индукции по любому замкнутому контуру пропорционально сумме токов, охватываемых контуром.

(13)