Применение теоремы о циркуляции

1. Бесконечный прямой провод

Р ассмотрим бесконечно длинный проводник, по которому течет ток силой I. Найдем индукцию магнитного поля на расстоянии r от него. В качестве контура выбираем окружность, центр которой лежит на проводнике с током, а радиус равен r. Тогда, учитывая, что величина вектора магнитной индукции неизменна вдоль всей длины контура, циркуляция магнитного поля равна . Контур охватывает только один ток, поэтому, .

2. Соленоид.

Н айдем индукцию магнитного поля на оси соленоида. Для этого в качестве контура выберем прямоугольник 1234, сторона 12, которого, совпадает с осью соленоида. По теореме о циркуляции , здесь учтено, что токи, пересекая контур, нанизываются только на сторону 12, тогда три последних интеграла равны 0.

Токи во всех витках одинаковы и равны I. Тогда и по теореме о циркуляции , где n – число витков, приходящихся на единицу длины.

Расчет напряженностей и потенциалов электрических полей

1 ) Сфера. Найдем напряженность сферы внутри E₁ и снаружи E₂. Выбираем в качестве гауссовой поверхности сферу радиусом r<R для нахождения поля внутри и r>R – снаружи сферы. , так как у сферы (рис.2) заряды расположены только на поверхности, поэтому напряженность поля внутри сферы равна нулю (нет зарядов), а потенциал постоянен и равен потенциалу на поверхности. , то есть, на расстояниях r>R от своего центра сфера ведет себя как точечный заряд. Ее напряженность равна (2), а потенциал равен (3). Напряженность и потенциал на поверхности сферы, соответственно, равны (2*) и (3*).

2 ) Объемно заряженный шар при r>R ведет себя также как и сфера и для него справедливы выражения (2,2*) и (3, 3*). В отличии от сферы внутри шара есть заряды, а значит напряженность поля отлична от нуля и потенциал не постоянен (рис.3). , где объемная плотность заряда шара постоянна и равна , напряженность поля внутри шара (4), а потенциал (5).

Б есконечная плоскость, равномерно заряженная с поверхностной плотностью заряда , создает поле напряженностью (6).

Разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстоянии х₁ и х₂ от плоскости, равна (7)

3 ) Бесконечный заряженный цилиндр радиуса R, заряженный с линейной плотностью , создает вокруг себя поле, силовые линии которого перпендикулярны поверхности цилиндра. Выберем в качестве гауссовой поверхности цилиндр радиусом r>R и высотой h. Заряд цилиндра, создающий поле, силовые линии которого пересекают гауссову поверхность, равен . По теореме Гаусса найдем напряженность поля на расстоянии r от центра цилиндра , тогда , связи напряженности и напряжения между двумя точками

Р асчет полей с помощью закона Кулона

1. Поле заряженной нити

Рассмотрим равномерно заряженную с линейной плотностью нить. Представим нить как последовательность элементарных зарядов , тогда каждый заряд создает в точке на расстоянии r от него поле, напряженность которого определяется выражением .

Напряженность можно представить как векторную сумму ее компонент . Для нахождения поля нити необходимо проинтегрировать данное выражение. Учитывая, что нить симметрична относительно отрезка b, проходящего через ее середину, , следовательно, .

Элементарная напряженность . Выразим элемент длины нити через расстояние до рассматриваемой точки , учитывая, что , перейдем к интегрированию по углам

Если нить бесконечная, то ₂ = 0, а ₁ = , тогда напряженность поля