1.5. Умови рівноваги

У зв’язку з тим, що «Опір матеріалів» розглядає деформації тіл, у більшості випадків нехтуючи їх рухом, одними з основних математичних залежностей, що використовуються, є рівняння рівноваги.

В загальному випадку просторової задачі, рисунок 7, вибравши ортогональну декартову систему координат, їх можна сформулювати так:

- суми проекцій усіх сил, що діють на тіло, на відповідні осі, дорівнюють нулю;

- суми моментів усіх сил, що діють на тіло, відносно будь-якої координатної осі, дорівнюють нулю.

Рисунок 7. Силові фактори при загальному випадку просторового навантаження

Або символічно

(1)

Зрозуміло, що для плоскої задачі цих рівнянь буде тільки три (суми проекцій сил на кожну з осей дорівнюють 0 та сума моментів усіх сил відносно будь-якої довільної точки цієї площини теж дорівнює 0).

(2)

У випадку лінійного навантаження уздовж однієї осі рівнянню рівноваги буде тільки одне – алгебраїчна сума всіх сил повинна дорівнювати ).

(3)

При розгляді стержневих систем постає питання про знаходження внутрішніх сил, що діють у будь-якому довільному перерізі. Для цього може бути використано метод перерізу, суть якого полягає у тому, що внутрішній силовий фактор (сила, момент) у перерізі знаходять як алгебраїчну суму всіх сил, взятих з одного боку від цього перерізу.

Суть методу зображено на рисунку 8а), б), в).

Рисунок 8. Ілюстрація методу перерізів

Чому саме з одного боку? Тому, що за законами рівноваги сума сил з другого боку повинна дорівнювати тій же величини та бути спрямована в протилежний бік (рисунок 8в)), виходячи з рівнянь (3).

Слід зауважити, що по-перше, реакції опор – це також зовнішні сили і ними не можна нехтувати, по-друге, якщо зображений на рисунку вектор сили направлений в один бік, а величина сили за обчисленнями дорівнює від’ємному числу, то насправді сила спрямована в інший бік. Користуючись цим методом, неважко побудувати епюру навантажень у наведеному стержні, рисунок 9.

Рисунок 9. Розподіл навантажень у стержні

Таким чином, від системи зовнішніх сил можна перейти до внутрішніх силових факторів, тобто тих сил і моментів, що діють безпосередньо в перерізі, який нас цікавить.

1.6. Напруження

При вирішенні питання про міцність конструкції недостатньо знати тільки систему сил, що діють на цю конструкцію. Необхідно знати ще її розміри та матеріал, з якого вона зроблена. На початку ХІХ століття Огюст Коші, відомий математик і механік, увів поняття напруження, яке одночасно характеризувало й силові фактори, що діяли в перерізі, й геометричні розміри цього перерізу. Напруження в загальному вигляді – це відношення сили, що діє по площадці, до величини цієї площадки.

Розглянемо довільне тіло, на яке діє система зовнішніх сил F₁, F₂, F₃,…F_i і при цьому тіло знаходиться в рівновазі, рисунок 10.

Рисунок 10. Розподіл сил по перерізу

Розглянемо переріз тіла. Якщо відкинути ліву частину, то для забезпечення рівноваги до точок перерізу треба прикласти сили, які дорівнюють силам, що діють з боку відрізаної частини, рисунок 11.

Рисунок 11. Типи напружень

Вибираємо навкруги якоїсь довільної точки А елементарну площадку dA. На неї буде діяти певна внутрішня сила dF. Тоді можна вважати, що повне напруження в точці А на площадці dА дорівнює:

(4)

Це повне напруження в точці А можна розглянути у вигляді двох складових – нормальної σ та дотичної τ, рисунок 12.

Рисунок 12. Типи напружень

Співвідношення нормального, дотичного та повного напруження визначається наступними формулами:

(5)

(6)

/ (7)

Напруження на площадці є векторною величиною з модулем, який обчислюється за формулами (4 – 6). Слід зауважити: якщо через точку А провести якийсь інший переріз і знову спробувати знайти напруження, то велична напруження, як повного так і його складових, буде вже іншою. Тобто, напруження в точці твердого тіла залежить не тільки від зовнішніх сил, геометрії системи та положення точки, в якій визначаються напруження, а ще й від того, як в цій точці орієнтована площадка, на якій визначаються напруження.

Уява напруження у вигляді двох складових, нормальної та дотичної, допомагає зрозуміти способи руйнування тіла. Нормальне напруження зумовлює відрив частинок однієї від іншої. Дотичне напруження відповідно зумовлює їх взаємний зсув.

Розмірність одиниць напружень – це відношення одиниць сили до одиниць площі, тобто вимірюється в Паскалях ( ).