Уравнения тепловой конвекции
Жидкость может
находиться в механическом равновесии
(т.е. в ней может отсутствовать
макроскопическое движение), не находясь
при этом в тепловом равновесии. Уравнение
Эйлера для покоящейся жидкости,
находящейся в однородном поле тяжести
- может быть удовлетворено и при
непостоянной температуре в жидкости.
При этом, однако, возникает вопрос о
том, будет ли такое равновесие устойчивым.
Оказывается, что равновесие будет
устойчивым лишь при выполнении
определенного условия. Если это условие
не выполняется, то равновесие неустойчиво,
что в результате развития возмущений
приводит к появлению в жидкости
беспорядочных течений, стремящихся
перемешать жидкость так, чтобы в ней
установилась постоянная температура.
Такое движение носит название тепловой
конвекции.
Условие устойчивости механического
равновесия является, другими словами,
условием отсутствия конвекции. Конвекция
наступает при нарушении следующего
условия:
,
где
– удельная теплоемкость при постоянном
давлении,
– температурный коэффициент расширения;
т.е. если температура падает по направлению снизу вверх, причем ее градиент превышает по абсолютной величине указанное в условии значение.
Выведем уравнения, описывающие конвекцию [1]. Мы будем рассматривать жидкость как несжимаемую. Это значит, что давление предполагается достаточно мало меняющимся вдоль жидкости, так что изменение плотности под влиянием изменения давления можно пренебречь. Это существенно упрощает систему уравнений, описывающих конвекцию. Что же касается изменения плотности благодаря неравномерной нагретости жидкости, то этим изменением, конечно, нельзя пренебречь. Именно оно приводит к появлению сил, вызывающих конвекционное движение.
Модель, которая описывает конвекцию жидкости, как несжимаемую, называется моделью Буссинеска [2]. Соответствующие приближенные уравнения обычно называют уравнениями конвекции в приближении Буссинеска.
В таком случае
переменная температура записывается
в виде
,
где
есть некоторое постоянное среднее
значение, от которого отсчитывается
неравномерность температуры
.
Будем предполагать, что
мало
по сравнению с
.
Плотность жидкости напишем в виде
с постоянным
.
Ввиду малости изменения температуры
мало также и вызываемое им изменение
плотности
,
причем можно написать:
, (1.1)
где
– температурный коэффициент расширения.
В давлении же
величина
не будет постоянной. Это давление,
соответствующее механическому равновесию
при постоянных (равных
и
)
температуре и плотности. Оно меняется
с высотой согласно гидростатическому
уравнению
,
где координата z отсчитывается вертикально вверх.
Учитывая все эти соображения, получаем полную систему уравнений, описывающих термогравитационную конвекцию несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска:
Уравнение Навье-Стокса:
. (1.2)
Уравнение теплопроводности:
.
(1.3)
Уравнение непрерывности:
,
(1.4)
где
– вектор
скорости,
–
изменение давления,
–
изменение температуры,
– коэффициент
кинематической вязкости,
– гидростатическое
значение плотности,
– коэффициент
температуропроводности,
– коэффициент
теплопроводности,
– удельная теплоемкость при постоянном
давлении.
Возвращаясь к допущениям, сделанным при выводе уравнений (1.2) – (1.4), отметим, что основным моментом в приближении Буссинеска является предположение о том, что рассматривается в некотором смысле «слабая» конвекция: вызванные неоднородностью температуры отклонения плотности от среднего значения предполагаются настолько малыми, что ими можно пренебречь во всех уравнениях, кроме уравнения движения (1.2), где отклонение учитывается лишь в члене с подъемной силой. Разумеется, учет неоднородности плотности лишь в уравнении движения означает некоторую непоследовательность приближения Буссинеска. Однако сравнение результатов решения уравнений конвекции (1.2) – (1.4) с обширным экспериментальным материалом с определенностью свидетельствует о том, что эти уравнения достаточно хорошо отражают все важнейшие особенности тепловой конвекции в лабораторных масштабах.
В частных случаях температура или тепловой поток могут быть заданы непосредственно на границах полости, которую заполняет жидкость. При этом уравнения и граничные условия будут содержать следующие параметры: характерную длину полости L, характерную разность температур Θ, время τ, характеризующее нестационарность внешних условий, и параметры жидкости ν, χ, gβ. Из этих величин можно построить 2 независимые безразмерные комбинации:
,
– так называемые числа Рэлея (R), Прандтля (P). Число Прандтля зависит только от свойств самого вещества жидкости; основной же характеристикой конвекции как таковой является число Рэлея.
Два течения подобны, если их числа R и P одинаковы. Теплопередачу при конвекции в поле тяжести характеризуют числом Нуссельта:
,
где
– коэффициент теплопередачи между
твердыми телами и жидкостью,
– коэффициент
теплопроводности среды, l
– характерный
размер.
Конвективное движение может быть как ламинарным, так и турбулентным. Наступление турбулентности определяется числом Рэлея – конвекция становится турбулентной при очень больших значениях R.
Ламинарное течение – течение, при котором жидкость или газ перемещается слоями без перемешивания и пульсаций (то есть беспорядочных и быстрых изменений скорости и давления).
Турбулентное течение – явление, заключающееся в том, что при увеличении скорости течения жидкости или газа в среде самопроизвольно образуются многочисленные нелинейные фрактальные волны и обычные, линейные различных размеров, без наличия внешних, случайных, возмущающих среду сил и/или при их присутствии.