Элементы теории завихренности
Нужно будет
различать абсолютный вихрь
,
измеренный в инерциальной системе, и
относительный вихрь
,
измеренный в равномерно вращающейся
системе. Они связаны соотношением
(3.1)
Такое же различие устанавливается для циркуляции по замкнутому контуру
Некоторое преобразование последнего интеграла приводит к форме
(3.2)
Здесь
—
проекция поверхности
,
ограниченной контуром L,
на плоскость, перпендикулярную вектору
;
— единичный вектор, нормальный к
.
Применение теоремы Стокса дает равносильное определение циркуляции
(3.3)
Завихренность в
некоторой точке пропорциональна
мгновенному угловому моменту сферического
элемента жидкости (жесткого) в этой
точке. Разумеется, мгновенная угловая
скорость частицы есть как раз
.
Линия в жидкости, повсюду касательная
к
,
называется вихревой линией; вихревые
линии, проходящие через каждую точку
малой замкнутой кривой, образуют вихревую
трубку. Если площадь поперечного сечения
трубки
мала, величина
имеет одно и то же
значение повсюду вдоль трубки и называется
ее интенсивностью. Это следует из
теоремы о дивергенции
(3.4)
примененной к
объему вихревой трубки, заключенному
между сечениями
и
.
Согласно (3.3), этот результат равносилен
утверждению о том, что циркуляция по
некоторому контуру, опоясывающему
боковую поверхность трубки, постоянна.
Другое заключение, вытекающее из (3.4),
состоит в том, что вихревые линии не
могут начинаться или оканчиваться в
жидкости, они либо замкнуты, либо
оканчиваются на твердых границах.
Структуру поля завихренности можно изобразить с помощью вихревых трубок равной интенсивности, пронизывающих среду. Положение каждой трубки задается ее центральной вихревой линией. Плотность трубок в некотором месте пропорциональна завихренности, возрастающей по мере сближения трубок. При растяжении вихревой трубки постоянной интенсивности завихренность возрастает, компенсируя уменьшение площади поперечного сечения.
Аккуратная аппроксимация уравнения завихренности в инерциальном пространстве
(3.5)
дает соотношение между конвективной скоростью изменения абсолютной завихренности (левая часть) и тремя процессами, вызывающими это изменение (правая часть). Эти процессы в том порядке, как они записаны, есть растяжение и поворот вихревых линий, возникновение завихренности за счет изменения плотности и диффузионный перенос завихренности от соседних элементов.
Ниже кратко сформулированы несколько классических теорем о завихренности невязких жидкостей.
Теорема Лагранжа
утверждает, что если в невязкой среде
с постоянной плотностью поле завихренности
равно нулю в начальный момент, то оно
остается нулевым всегда,
.
(Условия, разумеется, исключают все
способы возникновения завихренности.)
Теорема Кельвина вытекает из формулы для полного изменения циркуляции по замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью:
(3.6)
Следовательно, если жидкость однородна или баротропна Р = Р (ρ) и диссипация отсутствует, то циркуляция по контуру, движущемуся вместе с жидкостью, остается все время постоянной.
Теорема Гельмгольца следует прямо отсюда и утверждает, что при тех же условиях вихревая трубка движется вместе с жидкостью и ее интенсивность остается постоянной.
Эти важные теоремы, будучи записаны для вращающейся системы координат, показывают, как изменяются относительная завихренность и циркуляция под действием основного вращения.