Бұл әдісті кейде “Чебышевтің тиімді итерациялық әдісі ” деп те атайды.

Берілген

теңдеулер жүйесін шешу үшін стационарлы емес итерациялық процессін қолданайық

. (7.1)

Итерациялық процесстің жинақталуы -параметріне тікелей байланысты болғандықтан, оны табу жолдарына тоқталайық.

Айталық, -оң анықталағн болсын, яғни оның оң меншікті сандары және өзара ортогональды меншікті векторлары бар.

Егер десек, онда (7.1) теңдігін былай жазуға болады:

. (7.2)

векторын А матрицасының меншікті векторына жіктесек, онда

.

Енді (7.2) теңдігін ескере отырып

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,

теңдіктерін аламыз.

Соңғы теңдіктен мына бағалауды алуға болады: ,

мұнда .

Біздің негізгі мақсатымыз берілген үшін -ға минимум беретін параметрлерін табу керек болғандықтан, кесіндісінде анықталған

көпмұшесін қарастырайық.

Егер десек, онда

(7.4)

алмастыру арқылы аралығын аралығымен алмастыру арқылы көпмүшесін көпмүшесіне түрлендіреміз. Және болғандықтан .

Егер десек , онда көпмүшесі мен -Чебышев көпмүшесінің түбірлері бірдей болғандықтан, Чебышев көпмүшесінің түбірлері - көпмүшесінің модуліне минимум мән береді.

Ал көпмүшесінің түбірлері

(7.5)

боғандықтан және (7.4) теңдігін ескерсек, онда

. (7.6)

Бұл жағдайда . (7.7)

Себебі . Шынында да десек, онда

(7.8)

мұндағы

болғандықтан

. (7.9)

Енді екенің ескерсек, онда . Сонымен

(7.10)

болғандықтан Ричардсонның итерациялық әдісінің жинақталу жылдамдығы үшін мынандай бағалау орындалады:

(7.11)

Ричардсон әдісін іс жүзінде қолдану үшін біріншіден мен белгілі болуы тиіс, екіншіден саны тұрақты болуы қажет. Сондықтан Ричардсон әдісін қолданбастан бұрын А матрицасының меншікті сандарының төменгі және жоғарғы шегін анықтап алған жөн. Сонымен қоса итерациялық процесстің қанша итерациядан кейін алдын-ала берілген дәлдікті қанағаттандыратындығы белгісіз болса және алдын-ала берілген дәлдік орындалмаса, онда табылған параметрлерін қайта қолданады. Бұл жағдайда итерациялық процессті былай жазған дұрыс:

(7.12)

мұнда циклді итерациялық процесстің параметрлерінің саның көрсетеді. Егер болса, онда итерациялық процесс (7.1) стационар, ал болса стационар емес делінеді.Ричардсон әдісін қолданған кездегі келесі проблема- параметрлерінің қолдану ретін анықтау. Өйткені парметрлерді белгілі бір ретте қолданған кезде әдіс орнықсыз болуы мүмкін.

Лекция 12-15. Алгебралық және трансценденттік теңдеулерді жуықтап шешу єдістері

Біз түрінде берілген теңдеуді n дәрежелі алгебралық теңдеу, ал , , түрінде, яғни құрамы көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық, кері тригонометриялық функциялардан тұратын теңдеулерді трансценденттік теңдеулер дейміз.

Егер алгебралық көпмүше болса, онда 5-дәрежелі көпмүшеге дейін ғана теңдеуінің түбірлерін дайын формулалар арқылы есептеуге болатыны белгілі. Ал трансценденттік теңдеулердің шешімдерін табудың жалпы әдісі жоқ. Сондықтан көптеген мәселелердің шешуі түптеп келгенде алгебралық немесе трансценденттік теңдеулерді алдын ала берілген дәлдікпен жуықтап шешуге келіп тіреледі.

Графиктер әдісі.

теңдеуінің бастапқы мәндерін табудың бір жолы функциясының графигін сызу арқылы, осы функцияның осімен қиылысу нүктелерін тауып, соларды теңдеудің жуық түбірлері ретінде қолдану.

Мысалы функциясының графигі 1-суреттегідей болсын.

1 -сурет

Онда нүктелерінің біреуін бастапқы мән ретінде алуға болады.

Егер функциясын екі функцияның айырымы немесе қосын- дысы түрінде жазуға болатын болса, яғни болса, онда теңдеуін түрінде жазып, функцияларының графиктерінің қиылысу нүктелерін бастапқы мән ретінде аламыз.