2. Жетілдірілген Эйлер әдісі.

(Предиктор-корректор әдісі).

Егер функциясының кесіндісінде екінші ретті туындысы жоғарыдан шектелген деп есептеп, (7) –ші интегралға орта нүктелік тік төртбұрыш формуласын қолдансақ, онда (6)-шы формуладан

(2.1)

формуласын аламыз. Мұндағы Енді мәнін

деп жуықтап алатын болсақ, онда (2.1) формуласынан

(2.2)

формуласын аламыз. Яғни бұл әдістің есептеу алгоритімі мынадай болады:

, (2.3)

, (2.4)

Енді берілген Коши есебінің бір ғана шешуі бар, функциясы бойынша Липшитц шартын қанағаттандырады және 3-ші ретке дейін дифференциалданады деп есептеп, (2.3)-(2.4) айырымдық есептің шешуі (4)-(5) есебінің шешуіне жинақталу дәлдігі болатынын көрсетейік.

Ол үшін функциясын нүктесінде Тейлор қатарына жіктейік: (2.5)

Енді ретімен десек, онда

(2.6)

(2.7)

формулаларын аламыз.

Егер (2.7) теңдігінен (2.6) теңдігін шегерсек, онда

(2.8)

теңдігін аламыз. Мұндағы .

Енді (2.8) теңдігінен (2.4) теңдігін шегерсек, онда

теңдігін аламыз.

белгілеулерін еңгізіп және Липшитц шартын пайдалансақ, онда соңғы теңдіктен

(2.9)

теңсіздігін аламыз. Ал мына теңдікті

(2.10)

ескерсек, онда (2.9) теңсіздіктен

теңсіздігін аламыз.Осыдан

(2.11)

теңсіздігін шығады. Енді k-ның k=0,1,2,... мәндері үшін

. . . . . . . . . . . . . . . . .

теңсіздігін аламыз.

Мұндағы

Тордағы түйіні түйіндік нүкте болып қала береді деп есептесек, деп жазуға болады және екенін ескерсек, онда

Осыдан болғандықтан (2.3)-(2.4) айырымдық есебінің шешуі (4)-(5) есебінің шешуіне дәлдікпен жинақталады.

3. Рунге –Кутт әдісі. Берілген

(3.1)

(3.2)

есебінің аралығындағы жуық шешуінің дәлдігі –

(3.3)

Теңдігінің оң жағындағы интегралды есептеу дәлдігімен тікелей байланысты болғандықтан,осы интегралды жуықтап есептеудің Рунге-Кутт әдісін қарастырайық.Ол үшін алдымен айнымалысын енгізу арқылы (3.3) теңдігін былайша түрлендірейік:

(3.4)

мұнда .Енді

(3.5)

интегралын есептеу үшін

(А)

параметрлерін алайықта, , параметрлерін пайдаланып

біртіндеп есептелетін тізбек құрастырып,

(3.6)

жуықтауы орындалатындай , , (А) параметрлерін табу жолын қарастырайық.

Айталық,

(3.7)

болсын. жеткілікті жатық функция деп есептеп,оны былайша жіктейік:

Енді , , (А) параметрлерін

(3.8)

болатындай етіп тапсақ, онда біздің жіберетін қатеміз:

(3.9)

(3.8) теңдігін қанағаттандыратындай , , (А) параметрлерін табу алгоритімі былайша іске асырылады.

Алдымен - ты нүктесінде Тэйлор қатарына жіктейміз:

. (3.10)

Оны -тың дәрежесі бойынша жіктелген өрнегімен салыстыру арқылы, белгісіздері , , (А) параметрлерінен тұратын, сызықтық емес теңдеулер жүйесін аламыз.Осы теңдеулер жүйесін шешу арқылы , , (А) параметрлерін табамыз.

Кез келген үшін , , (А) параметрлерін табу күрделі мәселе болғандықтан біз бұл әдістің тек дербес жағдайларын ғана қарастырамыз.