Бөлшектеу әдісі.

Бөлшектеу әдісі математикалық анализдегі мына теоремаларға сүйенеді:

Теорема-1. Егер үзіліссіз функциясы кесіндісінде теңсіз- дігін қанағаттандырса, онда теңдеуінің аралығында ең болмағанда бір түбірі болады.

Теорема-2. Егер дифференциалданатын функциясының аралығында- ғы туындысы болса, онда осы аралықта өспелі (кемімелі) болады.

Осы теоремаларға сүйенсек, онда және аралығында (немесе ) болғанда теңдеуінің осы аралығында бір ғана түбірі болады.

Енді функцияның ерекшеліктерін ескере отырып теңдеудің аралығында жатқан түбірлерін іздестіру жолын қарастырайық. Ол үшін кесіндісін нүктелерінің арақашықтығы -қа тең бөлікке бөлеміз, яғни , , . Егер болса, онда осы аралықта f(x)=0 теңдеуінің ең болмағанда бір түбірі бар екені айқын. Осы кесіндісінде таңбасын өзгертпесе, онда теңдеудің бір ғана түбірі бар болғаны. Ал -тың таңбасын анықтау қиын болған жағдайда кесіндісін тағы да бөлікке бөлу арқылы ( ) нүктелер тізбегін аламыз да өрнегінің немесе өрнегінің таңбасын ( ) қарастырамыз. Егер тек к-ның бір мәнінде ғана болса немесе өрнегінің таңбасы барлық үшін өзгермесе, онда теңдеуінің кесіндісінде бір ғана түбірі бар деп тұжырымдауға болады.

Осы процестерді қайталау арқылы теңдеудің түбірлерінің (түбір- лердің еселігін есептемегенде) бастапқы мәнін табуға болады.

Итерациялық процестің жалпы қойылуы және сығу принципі.

Жуық түбірі аралығында жатқан теңдеуін

(2.1)

түріне келтірейік те, кез келген a,b арқылы

(2.2)

итерациялық формула бойынша тізбегін құрайық. (2.1) теңдеуін әр түрлі жолдармен алуға болатындықтан, оны тізбегі жинақталатындай етіп алуымыз керек. Енді осы итерациялық формуланың қандай жағдайда жинақталатынын қарастырайық.

Айталық -метрикалық кеңістік, ал -осы кеңістікте анықталған оператор болсын.

Анықтама. Егер -метрикалық кеңістігінің кез келген және элементтері үшін , (2.3)

теңсіздігі орындалса, онда сығу операторы деп аталады.

Теорема-1. сығымдап бейнелеу принципі

Егер -толық метрикалық кеңістік болса, ал А өзін-өзіне бейне- лейтін сығу операторы болса, онда 2.4

теңдеуінің бір ғана шешімі бар. Ол

, (2.5)

тізбегінің шегі болады.

Енді осы теореманы қолдану арқылы итерациялық тәсілінің жинақталуын зерттейік.

Айталық, теңдеуінің түбірі болсын және дөңгелегінде Липщиц шартын қанағаттандырсын:

,

мұндағы -кез келген нүкте.

Теорема-2. гер , дөңгелегінде Липщиц шартын қанағаттандырса және болса, онда кез келген -де

(2.8)

тізбегі нүктесіне жинақталып,

(2.9)

теңсіздігі орындалады.

Ал енді -дің кез келген және нүктелері үшін Липщиц шартының орындалатынын немесе орындалмайтынын тексеру тәжірибе жүзінде іске асыру күрделі мәселе. Бірақ, егер аралығында функциясының үзіліссіз туындысы бар болса және

(2.10)

шартын қанағаттандырса, онда (2.10) шартын жинақталудың жеткілікті шарты деп қарауға болады. Бұл тұжырым мына теоремаға сүйенеді:

Теорема-3.Айталық, -де анықталған және дифференциалданатын, сонымен қоса болсын. Егер (2.11)

болса, онда кез келген үшін (2.12)

итерациялық процесі жинақталады және берілген

(2.13)

теңдеуінің бір ғана шешуі болады.

Итерациялық әдістер.

Бұл параграфта теңдеуін теңдеуімен алмастыру жолдарын қарастырамыз.

Айталық, кесіндісінде үзіліссіз және бір ғана түбірі бар болсын, яғни .

Енді берілген теңдеуін түрінде жазсақ, онда (3.1)

теңдеуінің шешуі теңдеуінің шешуімен бірдей. Ал итерациялық процесті былай жазуға болады . (3.2)

Енді функциясын таңдап алу арқылы әр түрлі итерациялық әдістерді қарастырайық.

1.Релаксация әдісі. Айталық, болсын. Онда (3.1) теңдеуін былай жазуға болады: (3.3)

Осыдан . Енді , (3.4)

итерациясы жинақты болуы үшін

(3.5)

шарты орындалуы тиіс. Мұндағы теңдеуінің шешімі. Егер -ның маңайында , (3.6)

шарттары орындалса, онда аралығында итерациялық процесс жинақталады. Енді тиімді итерациялық параметр -ды табу үшін қатесін (3.4) теңдеуіне қойып

теңдеуін аламыз. Орта мән туралы теореманы қолдансақ

,

мұнда .

Сондықтан

теңдігін бағалау арқылы

теңсіздігін аламыз. Егер (3.6) шарты орындалса, онда .

Сонымен тиімді параметрін функциясы ең аз мән қабылдайтын етіп алуымыз керек. функциясының минимумы шартын қанағаттандыратындықтан . (3.7)

Сондықтан ,

болғандықтан

2.Ньютон әдісі. (Жанама әдісі)

Айталық, функциясы кесіндісінде төмендегі шарт- тарды қанағаттандырсын:

функциялары үзіліссіз.

таңбаларын өзгертпейді.

.

болғанда теңсіздігі орындалады.

.

Енді берілген теңдеуінің шешуі, ал теңдеудің жуық шешуі болса, онда жеткілікті аз шама. Осыдан .

Егер (3.8)

теңдеуінің сол жағын нүктесінде Тэйлор қатарына жіктесек

теңдігін аламыз. Осыдан өте аз шама десек, онда жуықтау теңдігінен -ды табамыз:

, (3.9)

Сондықтан . Немесе деп аламыз. Яғни дәлдігі жоғары келесі жуық шешу былайша табылады:

. (3.10)

Бұл формуланы Ньютон әдісі деп атайды.

Енді Ньютон әдісінің жинақтылығын бағалайық.

Тэйлор формуласын қолдану арқылы

формуласын аламыз. Мұнда Осыдан . (3.11)

(3.10) формуласынан (3.11) формуласын ескере отырып, мына формуланы аламыз:

.

Егер деп белгілесек, онда

, ( 3.12)

Осыдан Ньютон әдісінің жинақталу жылдамдығы шығады.

3.Қиюшылар әдісі. (Хорда әдісі)

Берілген теңдеуі (3.13)

түріндегі теңдеумен алмастырайық және функциясы Ньютон әдісіндегі бірінші төрт шартты қанағаттандырсын. Бұл әдісті Ньютон әдісіндегі функциясын бөлінген айырымдармен алмастыру арқылы алуға болады. Мысалы нүктесі мен нүктесі өте жақын орналасқан десек, онда деуге болады. Сондықтан десек, онда теңдеуін былай жазуға болады: (3.14)

Ал итерациялық процесс былайша жазылады : . (3.15)

Мұнда нүктесін шарты міндетті түрде орындалатындай етіп аламыз.

Егер (3.10) формуладағы -ді былайша жуықтасақ:

онда мынандай итерациялық формулаға келеміз:

, (3.16)

Бұл әдіспен теңдеуді шешу үшін теңсіздігін қанағат- тандыратын -бастапқы мәндер белгілі болуы керек.

Енді осы әдістің геометриялық мағынасына тоқталайық (2-сурет).

нүктелері арқылы түзу жүргізсек, онда оның теңдеуін былай жазуға болады: . (3.17)

Енді осы түзу осін нүктелерінде қиып өтсе, онда қиылысу нүктесінде болғандықтан (3.17) теңдеуін былай жазуға болады:

Сондықтан (3.15), (3.16) формулалар қиюшылар әдісі деп аталады.

Немесе (3.17) формуласын нүктелері арқылы тұрғызылған бір дәрежелі интерполяциялық көпмүше деп қарап, ал -ді осы көпмүшенің түбірі деп қарауға болады.

2 -сурет

Енді осы әдістің жинақтылығын қарастырайық.

,

болғандықтан теңдігін аламыз. Егер болса, онда . (3.18)

Осы формуладан -нің мәнін бақылау арқылы алдын ала берілген дәлдікпен теңдеуді шешуге болады.

4.Қақ бөлу әдісі. (биссекция әдісі)

Айталық, (3.19)

теңдеуі берілсін және сонымен қоса функциясы кесіндісінде үзіліссіз және болсын. Теңдеудің алдын ала дәлдікпен берілген түбірін табу үшін кесіндісін қақ бөлеміз, яғни . Егер болса, онда теңдеудің шешуін тапқанымыз, ал олай болмаған жағдайда немесе кесінділерін қарастырамыз, егер болса, онда деп аламыз, олай болмаса , деп аламыз. Осыдан кейін кесіндісін қақ бөлу арқылы табамыз. Егер болса, онда теңдеуді жуық түбірі табылды деп есептейміз, ал олай болмаған жағдайда кесіндісін тағы қақ бөлеміз. Осы процестерді қайталау арқылы , ,…, кесінділер тізбегін аламыз. Бұл кесіндіде болғандықтан және теңдігі орындалатындықтан тізбектерінің ортақ шегі бар, яғни

үзіліссіз болғандықтан Осы теңсіздіктен , яғни -теңдеудің түбірі. Сонымен қоса

. (3.20)

Бұл әдісті көп жағдайларда, теңдеудің түбірлерінің бастапқы жуық мәнін табуға қолдануға болады.

Әдісте функцияның туындыларына ешқандай шек қойылмайтын- дықтан және алгоритмі қарапайым болу себепті, әдіс ЭВМ-де теңдеуді шешуге өте қолайлы.

Лекция 16-17. Анықталған интегралды жуықтап есептеу.

Жалпы түсініктер және анықталған интегралдарды есептеудің қарапайым жолдары.

Егер кесіндісінде үзіліссіз және алғашқы образы- белгілі болса, онда Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша:

(1.1)

Бірақ, көп жағдайда функциясын табу өте күрделі мәселе болғандықтан, (1.1) формуласы іс жүзінде көп қолданылмайды. Ал кейбір уақыттарда функциясы таблица түрінде берілетіндіктен алғашқы образ деген сөздің өзі мағынасын жоғалтады.

Сондықтан (1.2)

интегралын есептеу үшін (1.3)

ақырғы қосындысы қолданылады. Мұндағы -сандық коэффициенті кесіндісінің нүктелері,

Мына жуықтап алынған теңдік (1.4)

квадратуралық формула деп аталынады. Ал (1.3)- квадратуралық қосынды, - квадратуралық формуланың түйіндері , -kвадратуралық формуланың коэфициенті деп аталынады.

(1.5)

квадратуралық формуланың дәлдігі делінеді. Квадратуралық формуланың дәлдігі квадратуралық формуланың түйіндері- -ның орналасуына, квадратуралық формуланың коэффициенттері- -ның алу жолдарына тікелей байланысты.

Енді берілген анықталған интегралды есептеу үшін кесіндісін тең кесіндіге бөлеміз, яғни нүктелер жиынын аламыз да

(1.6)

теңдігін қарастырамыз.

кесіндісіндегі интегралдың мәнін табу үшін

(1.7)

интегралының аралықтағы мәнін табу жеткілікті, өйткені (1.6) формуласы арқылы интегралдың кесіндісіндегі мәнін табу онша қиындық туғызбайды.

1.Тік төртбұрыш әдісі.

(1.7) интегралын жуықтап былайша есептейміз:

(1.8)

мұндағы

Бұл формуланың геометриялық мағынасы мынандай:

2-сурет

АВСД қисық сызықты трапецияның ауданы биіктігі АВД^/C^/ тік төртбұрышының ауданымен алмастырылады (2-сурет).

Сондықтан бұл формуланы тік төртбұрыш әдісі дейді.

(1.8) формуласының дәлдігі

. (1.9)

Тейлор формуласы арқылы оңай табылады.

Шынында да ді былайша жазып

= (1.10)

және +

десек, онда (1.10) формуласынан

(1.11)

формуласын аламыз.

Егер М = деп R -ді жоғарыдан бағаласақ ,онда

Яғни (1.12)

болғандықтан, h 0 ұмтылғандағы дәлдік 0(h ) болады.

Енді (1.8) теңдіктің i-дің 1 ден N ге дейінгі қосындысын қарастырсақ

(1.13)

болады. Сондықтан .

Осыдан

.

Егер десек, онда

, (1.14)

яғни тік төртбұрыш әдісінің кесіндісіндегі дәлдігі-0(h ).

2.Трапеция әдісі. (1.7) интегралындағы функциясын нүктелері арқылы тұрғызылған

бір дәрежелі Лагранж көпмүшесімен алмастырсақ, онда

(1.15)

мұндағы

(1.15) формуласын аралығында интегралдау арқылы

(1.16)

теңдігін аламыз. Осыдан

. Бұл формула трапеция әдісі деп аталады,себебі

3-сурет

сызықтарымен қоршалған қисық сызықты трапецияның ауданы трапециясының ауданымен алмастырылады (3сурет).

(1.16) формуладан бұл әдістің жіберетін қатесі

(1.18)

екенін көреміз. Ал жоғарыдан бағаласақ

, 19)

Енді (1.2) интегралын былай есептесек:

(1.20)

Онда

(1.21)

трапеция әдісінің жалпы формуласы шығады.

Ал жіберілетін қате

(1.22)

Жоғарыдан бағаласақ

, (1.23)

.

Сонымен, трапеция әдісінің кесіндісіндегі дәлдігі екенін көреміз.