1.2. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

Рівняння виду (1.5) де і задані і неперервні на деякому інтервалі функції, нази-вається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

Щоб розв'язати це диф. рівняння відокремимо його змінні, записавши його у вигляді рівності диференціалів. Для цього замінимо в рівнянні на тоді отримаємо:

Домножимо обидві частини диф. рівняння на

Вважаючи, що у даному рівнянні поділимо обидві його частини на

(1.5 )

Рівняння (1.5 ), записане у вигляді рівності двох диференціалів, називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

Із останньої рівності отримаємо загальний інтеграл диференціаль-ного рівняння (1.5):

де довільна стала.

Якщо дане рівняння містить початкову умову , то необхідно знайти конкретне значення підставивши в загальний інтеграл і замість та (тобто розв'язати задачу Коші).

Розв'язати диференціальне рівняння: ;

Розв'язання.

Щоб класифікувати дане диф. рівняння запишемо його у нормальній формі (1.2): ; диф. рівняння з відокремлю-ваними змінними (1.5), бо

Відокремимо змінні та зведемо дане рівняння до вигляду (1.5 ).

Замінимо в рівнянні на тоді отримаємо:

Домножимо обидві частини диф. рівняння на

Вважаючи, що у даному рівнянні поділимо обидві його частини на

де довільна стала.

Для знаходження невизначених інтегралів використаємо формулу №4 таблиці (3). Тоді для спрощення виразу загального інтегралу виконують заміну:

звідки

загальний розв'язок диф. рівняння.

Розв'яжемо задачу Коші, використавши початкову умову:

Знайдемо підставивши в загальний розв'язок число 3 замість і число 1 замість звідки

Відповідь. частинний розв'язок диф. рівняння

При відокремленні змінних диф. рівняння (1.5) отримали його у диференціальній формі (стр. 9):

У загальному випадку диф. рівняння з відокремлюваними змінними, записане у диференціальній формі, має вигляд: (1.6) Для відокремлення змінних у цьому рівнянні досить обидві його частини поділити на вираз

Розв'язати диференціальне рівняння:

,

Розв'язання.

;

Отримали диф. рівняння (1.6) з відокремлюваними змінними.

звідки .

Поділимо обидві частини рівняння на вираз Після скорочення отримаємо диференціальне рівняння, змінні якого – відокремлені:

де довільна стала.

Використаємо формули №4 та №1 таблиці (3) невизначених інтегралів.

звідки

загальний інтеграл.

Використаємо початкову умову

звідки

Відповідь. частинний інтеграл.

Диференціальне рівняння виду: (1.7) де задані числа, зводиться до рівняння з відокремленими змінними (1.5) за допомогою заміни: (1.7 ) Диференціюючи вираз (1.7 ) по отримаємо: звідки отримаємо диф. рівняння з відок-ремлюваними змінними.

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

Маємо диференціальне рівняння виду (1.7).

Уведемо заміну: , тоді задане рівняння має вигляд

Диференціюємо заміну по змінній або

Підставивши в останню рівність вираз отримаємо:

Звідси

Використавши формулу №15 таблиці (3) невизначених інтегралів, отримаємо:

Відповідь.