1.8. Диференціальні рівняння n–го порядку

Диференціальне рівняння виду:

де незалежна змінна, невідома функція, відома функція,

називається диференціальним рівнянням го порядку.

У диференціальному рівнянні го порядку (1.22) похідна го порядку є обов'язковим виразом, а наявність в ньому інших виразів необов'язкова.

Диференціальне рівняння, розв'язане відносно старшої похідної :

називається нормальним або явним диф. рівнянням го порядку.

Основні поняття для диференціальних рівнянь го порядку будемо розглядати тільки для нормальних рівнянь виду (1.23).

Розв’язком диференціального рівняння (1.23) на деякому інтервалі називається разів неперервно диференційовна на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в дане рівняння перетворює його на тотожність відносно незалежної змінної , тобто:

Графік розв'язку диференціального рівняння (1.22) або (1.23) називається інтегральною кривою даного диференціального рівняння.

Для диференціальних рівнянь вищих порядків, як і для рівнянь першого порядку, розглядається задача Коші або задача з початковими умовами: серед усіх розв'язків диф. рівняння (1.23) знайти такий розв'язок який при задовольняє початкові умови:

(1.24^*)

Загальний розв’язок диференціального рівняння го порядку знаходиться в результаті послідовних інтегрувань, тому має вигляд:

де довільні сталі інтегрування.

Загальний розв’язок, знайдений в неявній формі

називається загальним інтегралом диф. рівняння (1.23).

Розв’язати (або проінтегрувати) диференціальне рівняння порядку (1.23) означає:

1. знайти загальний розв’язок (або загальний інтеграл) диф. рівняння;

2) із загального розв’язку виділити частинний розв’язок (або частинний інтеграл), який задовольняє початкові умови (1.24), якщо початкові умови задані.